《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例4 如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm. 在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子. 当剪去正方形的边长为多少时，所得长方体盒子的侧面积为$200cm^{2}$？

答案： 解析：设剪去正方形的边长为$x$cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为$(30 - 2x)$cm，宽为$(20 - 2x)$cm，高为$x$cm. 根据长方体盒子的侧面积为$200cm^{2}$，即可得出关于$x$的一元二次方程，解之并选出符合题意的根，即可得出结论.
解：设剪去正方形的边长为$x$cm，则制成无盖长方体盒子的底面长为$(30 - 2x)$cm，宽为$(20 - 2x)$cm，高为$x$cm.
依题意，得$2×[(30 - 2x)x + (20 - 2x)x] = 200$.
整理，得$2x^{2} - 25x + 50 = 0$，解得$x_{1} = \frac{5}{2}$，$x_{2} = 10$.
当$x = \frac{5}{2}$时，$30 - 2x = 25$，$20 - 2x = 15$，符合题意；
当$x = 10$时，$20 - 2x = 0$，不合题意，舍去.
∴$x = \frac{5}{2}$.
∴当剪去正方形的边长为$\frac{5}{2}$cm时，所得长方体盒子的侧面积为$200cm^{2}$.