《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例4(2021.南京)如图①,在四边形
ABCD中,AB=BC=BD.设∠ABC=α,则
∠ADC=180°−$\frac{1}{2}$α(用含α的代数式表示).

答案： 解析:如图②,因为AB=BC=BD,所以点A,D,
C在以点B为圆心，AB长为半径的圆上.在优弧
AC上任取一点E,连接AE,CE,则∠AEC=
$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$α.因为四边形AECD是OB的内接
四边形,所以∠ADC=180°−∠AEC=180°−$\frac{1}{2}$α.
答案:180°−$\frac{1}{2}$α.

典例5(2023.贾汪一模)如图①,AB是⊙O
的直径,四边形ABCD内接于⊙O,D是AC
的中点，DE⊥BC交BC的延长线于点E.
(1)求证:DE是OO的切线;
(2)若AB=10,BC=8,求CE的长.

答案：
解析:
(1)要证明DE是OO的切线，所以连接
OD,求出∠ODE=90°即可.根据DE⊥BC,可得
∠DEC=90°,所以只要证明OD//BC即可解答.
(2)由
(1),可得BD平分∠ABC,过点D作DF⊥
AB,垂足为F,进而证明△ADF≌△CDE,可得
AF=CE,易证△BDF≌△BDE,可得BF=BE,
然后进行计算即可解答.
解:
(1)如图②,连接OD.
∵DE⊥BC,
∴∠DEC=90°.
∵D是AC的中点,
∴AD=$\frac{C}{D}$.
∴∠ABD=∠CBD.
∵OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD.
∴∠ODB=∠CBD.
第二十四章圆
∴OD//BC.
∴∠0DE=180°−∠DEC=90°.
∴OD⊥DE.
∵OD是OO的半径，
∴DE是OO的切线.
(2)如图③,过点D作DF⊥AB,垂足为F.
由
(1),得∠ABD=∠CBD,
∴BD平分∠ABC.
∵DF⊥AB,DE⊥BC,
∴DF=DE.
∵四边形ABCD内接于OO，
∴∠A+∠DCB=180°.
∵∠DCB+∠DCE=180°,
∴∠A=∠DCE.
∵∠DFA=∠DEC=90°,
∴△ADF≌△CDE.
∴AF=CE.
∵∠DFB=∠DEB=90°,∠FBD=∠EBD,
BD=BD,
∴△BDF≌△BDE.
∴BF=BE.
设CE=AF=x,则BE=BF=8+x.
∵AB=AF+BF=10,
∴x+8+x=10,解得x=1.
∴CE=1.