《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

例 1 (1)如图①，$ \odot O $ 是 $ \triangle ABC $ 的外接圆，$ BC = 2 $，$ \angle BAC = 30^{\circ} $，则 $ \overset{\frown}{BC} $ 的长为 (A)
A.$ \dfrac{2\pi}{3} $
B.$ \dfrac{\pi}{3} $
C.$ \dfrac{2\sqrt{3}\pi}{3} $
D.$ \dfrac{4\pi}{3} $
(2)如图②，在同心圆中，两圆的半径分别是 $ 2 $ 和 $ 1 $，$ \angle AOB = 120^{\circ} $，则图中阴影部分的面积为2π。

答案： 正确解答：
(1)如图①，连接 $ OB $，$ OC $，
则 $ \angle BOC = 2\angle BAC = 2 × 30^{\circ} = 60^{\circ} $。
$ \because OB = OC $，
$ \therefore \triangle BOC $ 为等边三角形。
$ \therefore \odot O $ 的半径 $ R = OB = BC = 2 $。
$ \therefore \overset{\frown}{BC} $ 的长为 $ \dfrac{60\pi × 2}{180} = \dfrac{2\pi}{3} $。
故选 A.
(2)阴影部分所在的大扇形及小扇形的圆心角的度数为 $ 360^{\circ} - 120^{\circ} = 240^{\circ} $，
$ \therefore S_{阴影} = S_{大扇形} - S_{小扇形} = \dfrac{240\pi × 2^{2}}{360} - \dfrac{240\pi × 1^{2}}{360} = 2\pi $。
故填 $ 2\pi $。
误区分析 在解第
(1)小题时，由于已知 $ \overset{\frown}{BC} $ 所对的圆周角的度数，因此在使用弧长公式 $ l = \dfrac{n\pi R}{180} $ 时，易误认为 $ n = 30 $，导致选择错误答案 B。在解第
(2)小题时，若误认为阴影部分所在的大扇形及小扇形的圆心角的度数是 $ 120^{\circ} $，则会把阴影部分的面积计算为 $ S_{阴影} = S_{大扇形} - S_{小扇形} = \dfrac{120\pi × 2^{2}}{360} - \dfrac{120\pi × 1^{2}}{360} = \pi $，从而填写错误答案 $ \pi $。

例 2 已知圆锥的侧面展开图的圆心角是 $ 180^{\circ} $，圆锥的底面积为 $ 15 cm^{2} $，求圆锥的侧面积。

答案： 正确解答：设圆锥底面圆的半径为 $ r cm $，侧面展开图的半径为 $ R cm $。
由题意，得 $ \pi r^{2} = 15 $，$ 2\pi r = \dfrac{180\pi R}{180} $。
$ \therefore r = \sqrt{\dfrac{15}{\pi}} $（负值舍去），则 $ R = 2r = 2\sqrt{\dfrac{15}{\pi}} $。
$ \therefore S_{侧} = \dfrac{180\pi R^{2}}{360} = \dfrac{1}{2}\pi R^{2} = \dfrac{1}{2}\pi × 4 × \dfrac{15}{\pi} = 30(cm^{2}) $。
误区分析 圆锥的侧面展开图是扇形，半径是圆锥的母线长，而不是圆锥底面圆的半径，因此我们通常把底面圆的半径记为 $ r $，圆锥侧面展开图的半径记为 $ R $，以便于区别。本题易把圆锥底面圆的半径当成侧面展开图的半径，从而导致计算错误。