《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 12 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 $ 1 $，以点 $ A $ 为圆心，$ AD $ 长为半径作 $ \overset{\frown}{DE} $，再以点 $ B $ 为圆心，$ BE $ 长为半径作 $ \overset{\frown}{EF} ·s ·s $ 这样连续作出的弧叫做正方形的渐开线。
（1）分别求出 $ \overset{\frown}{DE} $，$ \overset{\frown}{EF} $，$ \overset{\frown}{FG} $ 的长；
（2）观察你求出的结果，猜想第 $ n $ 条弧的弧长；
（3）求这 $ n $ 条弧的总长度。

答案： 解析：（1）已知各条弧所对的圆心角均为 $ 90^{\circ} $，易求弧长。（2）注意观察（1）中弧长与序号之间的关系，从而抽象出弧长与序号 $ n $ 的关系。（3）将这 $ n $ 条弧的长度相加即可。
解：（1）$ l_{\overset{\frown}{DE}} = \dfrac{90\pi}{180} × 1 = \dfrac{1}{2}\pi $，
$ l_{\overset{\frown}{EF}} = \dfrac{90\pi}{180} × 2 = \pi $，
$ l_{\overset{\frown}{FG}} = \dfrac{90\pi}{180} × 3 = \dfrac{3}{2}\pi $。
（2）第 $ n $ 条弧的弧长为 $ \dfrac{n}{2}\pi $。
（3）这 $ n $ 条弧的总长度为 $ \dfrac{1}{2}\pi + \dfrac{2}{2}\pi + \dfrac{3}{2}\pi + ·s + \dfrac{n}{2}\pi = \dfrac{1 + 2 + 3 + ·s + n}{2}\pi = \dfrac{n(1 + n)}{2} · \dfrac{1}{2}\pi = \dfrac{n(n + 1)\pi}{4} $。

典例 13 (2023·仙桃)如图①，在 $ 3 × 3 $ 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形。图中的圆弧为格点三角形 $ ABC $ 外接圆的一部分，小正方形的边长均为 $ 1 $，则图中涂色部分的面积为 ()

A.$ \dfrac{5}{2}\pi - \dfrac{7}{4} $
B.$ \dfrac{5}{2}\pi - \dfrac{7}{2} $
C.$ \dfrac{5}{4}\pi - \dfrac{7}{4} $
D.$ \dfrac{5}{4}\pi - \dfrac{7}{2} $

答案：
解析：如图②，由网格特征知，$ AB $ 的垂直平分线与 $ BC $ 的垂直平分线相交于格点 $ O $。所以点 $ O $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 与 $ \overset{\frown}{BC} $ 所在圆的圆心。连接 $ OA $，$ OB $，$ OC $，则 $ OA = OC = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} $，$ AC = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10} $。所以 $ OA^{2} + OC^{2} = (\sqrt{5})^{2} + (\sqrt{5})^{2} = 10 $，$ AC^{2} = (\sqrt{10})^{2} = 10 $。所以 $ OA^{2} + OC^{2} = AC^{2} $。所以 $ \angle AOC = 90^{\circ} $。所以 $ S_{涂色} = S_{扇形OAC} - S_{\triangle OAC} - S_{\triangle ABC} = \dfrac{90\pi × (\sqrt{5})^{2}}{360} - \dfrac{1}{2} × (\sqrt{5})^{2} - \dfrac{1}{2} × 1 × 2 = \dfrac{5}{4}\pi - \dfrac{7}{2} $。

答案：D.