《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 10 如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle BCA = 90^{\circ} $，$ \angle BAC = 30^{\circ} $，$ BC = 2 $。将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle ADE $，则 $ BC $ 扫过的面积为 (D)

A.$ \dfrac{\pi}{2} $
B.$ \dfrac{2 - \sqrt{3}}{2}\pi $
C.$ (2 - \sqrt{3})\pi $
D.$ \pi $

答案： 解析：在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ \angle BCA = 90^{\circ} $，$ \angle BAC = 30^{\circ} $，$ BC = 2 $，所以 $ AB = 2BC = 4 $。所以由勾股定理，得 $ AC = \sqrt{AB^{2} - BC^{2}} = 2\sqrt{3} $。因为将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 按顺时针方向旋转 $ 90^{\circ} $ 得到 $ \triangle ADE $，所以 $ S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADE} $，$ \angle CAB = \angle EAD $，$ AC = AE $，$ AB = AD $，$ \angle CAE = \angle BAD = 90^{\circ} $。所以 $ BC $ 扫过的面积为 $ S_{扇形ABD} + S_{\triangle ABC} - S_{扇形ACE} - S_{\triangle ADE} = S_{扇形ABD} - S_{扇形ACE} = \dfrac{90\pi × 4^{2}}{360} - \dfrac{90\pi × (2\sqrt{3})^{2}}{360} = \pi $。
答案：D.

典例 11 如图，在 $ Rt\triangle ABC $ 中，$ AC = 5 cm $，$ BC = 12 cm $，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，把 $ Rt\triangle ABC $ 绕 $ BC $ 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为 (B)

A.$ 60\pi cm^{2} $
B.$ 65\pi cm^{2} $
C.$ 120\pi cm^{2} $
D.$ 130\pi cm^{2} $

答案： 解析：在 $ Rt\triangle ABC $ 中，由勾股定理，得 $ AB = \sqrt{BC^{2} + AC^{2}} = 13 cm $。这个几何体是圆锥，圆锥的底面圆的半径 $ AC = 5 cm $，母线长 $ AB = 13 cm $，所以圆锥的侧面积为 $ \pi · AC · AB = \pi × 5 × 13 = 65\pi(cm^{2}) $。
答案：B.