《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 8 如图①，$ BE $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ A $，$ D $ 是 $ \odot O $ 上的两点，连接 $ AE $，$ AD $，$ DE $，过点 $ A $ 作射线，交 $ BE $ 的延长线于点 $ C $，使 $ \angle EAC = \angle EDA $。
（1）求证：$ AC $ 是 $ \odot O $ 的切线；
（2）若 $ CE = AE = 2\sqrt{3} $，求涂色部分的面积。

答案：
解析：（1）连接 $ OA $，过点 $ O $ 作 $ OF \perp AE $ 于点 $ F $，得 $ \angle EAO + \angle AOF = 90^{\circ} $，根据等腰三角形的性质和圆周角定理，得 $ \angle EDA = \angle AOF $，推出 $ OA \perp AC $，得 $ AC $ 是 $ \odot O $ 的切线。（2）根据等腰三角形的性质，得 $ \angle C = \angle EAC $，继而得出 $ \angle AEO = 2\angle EAC $，推出 $ \triangle AOE $ 是等边三角形，再分别求出扇形 $ OAE $ 的面积与等边三角形 $ AOE $ 的面积，最后根据 $ S_{涂色} = S_{扇形OAE} - S_{\triangle AOE} $ 求得答案。
解：（1）如图②，连接 $ OA $，过点 $ O $ 作 $ OF \perp AE $ 于点 $ F $。
$ \therefore \angle AFO = 90^{\circ} $。
$ \therefore \angle EAO + \angle AOF = 90^{\circ} $。
$ \because OA = OE $，
$ \therefore \angle EOF = \angle AOF = \dfrac{1}{2}\angle AOE $。
$ \because \angle EDA = \dfrac{1}{2}\angle AOE $，
$ \therefore \angle EDA = \angle AOF $。
$ \because \angle EAC = \angle EDA $，
$ \therefore \angle EAC = \angle AOF $。
$ \therefore \angle EAO + \angle EAC = 90^{\circ} $，即 $ \angle CAO = 90^{\circ} $。
$ \therefore OA \perp AC $。
$ \because OA $ 是 $ \odot O $ 的半径，
$ \therefore AC $ 是 $ \odot O $ 的切线。
（2）$ \because CE = AE = 2\sqrt{3} $，
$ \therefore \angle C = \angle EAC $。
$ \because \angle EAC + \angle C = \angle AEO $，
$ \therefore \angle AEO = 2\angle EAC $。
$ \because OA = OE $，
$ \therefore \angle EAO = \angle AEO $。
$ \therefore \angle EAO = 2\angle EAC $。
$ \because \angle EAO + \angle EAC = 90^{\circ} $，
$ \therefore \angle EAC = 30^{\circ} $，$ \angle EAO = 60^{\circ} $。
$ \therefore \triangle AOE $ 是等边三角形。
$ \therefore OA = AE = 2\sqrt{3} $，$ \angle AOE = 60^{\circ} $。
$ \therefore S_{扇形OAE} = \dfrac{60\pi × (2\sqrt{3})^{2}}{360} = 2\pi $。
在 $ Rt\triangle OAF $ 中，由勾股定理，易得 $ OF = 3 $，
$ \therefore S_{\triangle AOE} = \dfrac{1}{2}AE · OF = \dfrac{1}{2} × 2\sqrt{3} × 3 = 3\sqrt{3} $。
$ \therefore $ 涂色部分的面积为 $ 2\pi - 3\sqrt{3} $。

方法归纳
不规则图形面积的求法
当涂色部分是不规则图形时，求面积的思路就是要先将不规则图形转化为规则图形或几个规则图形的组合，再求涂色部分的面积。

典例 9 如图，一块含有 $ 30^{\circ} $ 角的直角三角尺 $ ABC $，在水平桌面上绕点 $ C $ 按顺时针方向旋转到 $ \triangle A'B'C $ 的位置。若 $ BC = 12 cm $，求点 $ A $ 所经过的路径长。

答案： 解析：由题意，知 $ \angle ACA' = \angle BAC + \angle ABC = 120^{\circ} $，$ AC = 2BC = 24 cm $，根据弧长公式可求得点 $ A $ 所经过的路径长，即以点 $ C $ 为圆心，$ CA $ 长为半径的圆中 $ 120^{\circ} $ 的圆心角所对的弧长。
解：$ \because \angle BAC = 30^{\circ} $，$ \angle ABC = 90^{\circ} $，且 $ BC = 12 cm $，
$ \therefore \angle ACA' = \angle BAC + \angle ABC = 120^{\circ} $，$ AC = 2BC = 24 cm $。
由题意，知点 $ A $ 所经过的路径是以点 $ C $ 为圆心，$ CA $ 长为半径的圆中 $ 120^{\circ} $ 的圆心角所对的弧，
$ \therefore $ 其路径长为 $ \dfrac{120\pi × 24}{180} = 16\pi(cm) $。