《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 6 如图，扇形 $ OAB $ 的半径 $ OA = 4 cm $，$ \angle AOB = 90^{\circ} $，分别以 $ AO $，$ BO $ 为直径作半圆，两个半圆相交于点 $ C $，求涂色部分的面积。

答案： 解析：连接 $ CO $，$ CA $，$ CB $，易得 $ \angle ACO = \angle BCO = 90^{\circ} $，故 $ A $，$ C $，$ B $ 三点共线，且 $ \triangle OAC $ 与 $ \triangle OBC $ 均为等腰直角三角形。于是得到以 $ OC $ 为弦的两个弓形与以 $ AC $，$ BC $ 为弦的两个弓形全等，故可将两个涂色部分的小弓形割补到两个空白部分的小弓形中，于是有 $ S_{涂色} = S_{扇形OAB} - S_{\triangle OAB} $。
解：如图，连接 $ CO $，$ CA $，$ CB $。
$ \because \angle AOB = 90^{\circ} $，$ OA = OB $，
$ \therefore \angle OAB = \angle OBA = 45^{\circ} $。
$ \because AO $，$ BO $ 分别为半圆的直径，
$ \therefore \angle ACO = \angle BCO = 90^{\circ} $。
$ \therefore $ 易得 $ A $，$ C $，$ B $ 三点共线，且 $ AC = OC = BC $。
$ \therefore $ 分别以 $ OC $，$ AC $，$ BC $ 为弦的小弓形的面积相等。
$ \therefore S_{涂色} = S_{扇形OAB} - S_{\triangle OAB} $。
$ \because S_{扇形OAB} = \dfrac{90}{360}\pi × 4^{2} = 4\pi(cm^{2}) $，
$ S_{\triangle OAB} = \dfrac{1}{2} × 4 × 4 = 8(cm^{2}) $，
$ \therefore S_{涂色} = S_{扇形OAB} - S_{\triangle OAB} = (4\pi - 8)cm^{2} $。

典例 7 运用图形变化的方法研究下面的问题：如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，$ CD $，$ EF $ 是 $ \odot O $ 的弦，且 $ AB // CD // EF $，$ AB = 10 $，$ CD = 6 $，$ EF = 8 $，则图中涂色部分的面积是 (A)

A.$ \dfrac{25}{2}\pi $
B.$ 10\pi $
C.$ 24 + 4\pi $
D.$ 24 + 5\pi $

答案： 解析：如图，连接 $ CO $ 并延长，交 $ \odot O $ 于点 $ G $，连接 $ OD $，$ OE $，$ OF $，$ DG $。因为易知 $ CG $ 是 $ \odot O $ 的直径，所以 $ \angle CDG = 90^{\circ} $。所以 $ DG = \sqrt{CG^{2} - CD^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8 $。又因为 $ EF = 8 $，所以 $ DG = EF $。所以 $ \overset{\frown}{DG} = \overset{\frown}{EF} $。所以扇形 $ ODG $ 与扇形 $ OEF $ 的圆心角相等。所以 $ S_{扇形ODG} = S_{扇形OEF} $。因为 $ AB // CD // EF $，所以易得 $ S_{\triangle OCD} = S_{\triangle ACD} $，$ S_{\triangle OEF} = S_{\triangle AEF} $。所以 $ S_{涂色} = S_{扇形OCD} + S_{扇形OEF} = S_{扇形OCD} + S_{扇形ODG} = S_{半圆} = \dfrac{1}{2}\pi × \left( \dfrac{10}{2} \right)^{2} = \dfrac{25}{2}\pi $。
答案：A.