《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 4 如图，$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径，弦 $ CD $ 交 $ AB $ 于点 $ E $，且 $ E $ 为 $ OB $ 的中点，$ \angle CDB = 30^{\circ} $，$ CD = 4\sqrt{3} $，则涂色部分的面积为(D)

A.$ 2\pi $
B.$ 4\pi $
C.$ \dfrac{4}{3}\pi $
D.$ \dfrac{16}{3}\pi $

答案： 解析：如图，连接 $ BC $。因为 $ \angle COB = 2\angle CDB = 60^{\circ} $，$ OC = OB $，所以 $ \triangle COB $ 是等边三角形，$ \angle AOC = 120^{\circ} $。因为 $ E $ 为 $ OB $ 的中点，所以 $ CE \perp OB $。所以 $ CE = \dfrac{1}{2}CD = 2\sqrt{3} $。在 $ Rt\triangle OCE $ 中，因为 $ \angle COE = 60^{\circ} $，所以 $ \angle OCE = 30^{\circ} $。所以 $ OE = \dfrac{1}{2}OC $。所以 $ \left( \dfrac{1}{2}OC \right)^{2} + CE^{2} = OC^{2} $，即 $ \dfrac{1}{4}OC^{2} + 12 = OC^{2} $，解得 $ OC = 4 $(负值舍去)。所以 $ S_{涂色} = \dfrac{120\pi × 4^{2}}{360} = \dfrac{16}{3}\pi $。
答案：D.

典例 5 如图，在边长为 $ 4 $ 的正方形 $ ABCD $ 中，先以点 $ A $ 为圆心，$ AD $ 的长为半径画弧，再以 $ AB $ 的中点为圆心，$ AB $ 长的一半为半径画弧，则两弧之间的涂色部分的面积是$2\pi$（结果保留 $ \pi $）。

答案： 解析：根据扇形的面积公式求出扇形 $ ADB $ 的面积，再求出以 $ AB $ 为直径的半圆的面积，用扇形的面积减去半圆的面积，即 $ S_{涂色} = S_{扇形ADB} - S_{半圆} = \dfrac{1}{4} × 16\pi - \dfrac{1}{2} × 4\pi = 2\pi $。
答案：$ 2\pi $。