《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 1 如图，在扇形 $ OAB $ 中，$ AC $ 为弦，$ \angle AOB = 140^{\circ} $，$ \angle CAO = 60^{\circ} $，$ OA = 6 $，则 $ \overset{\frown}{BC} $ 的长为 (B)

A.$ \dfrac{4\pi}{3} $
B.$ \dfrac{8\pi}{3} $
C.$ 2\sqrt{3}\pi $
D.$ 2\pi $

答案： 解析：如图，连接 $ OC $。因为 $ OA = OC $，$ \angle CAO = 60^{\circ} $，所以 $ \triangle AOC $ 为等边三角形。所以 $ \angle AOC = 60^{\circ} $。所以 $ \angle BOC = \angle AOB - \angle AOC = 140^{\circ} - 60^{\circ} = 80^{\circ} $。所以 $ \overset{\frown}{BC} $ 的长为 $ \dfrac{80\pi × 6}{180} = \dfrac{8\pi}{3} $。
答案：B.

本题考查的是弧长的计算、等边三角形的判定和性质，掌握弧长公式 $ l = \dfrac{n\pi R}{180} $ 是解题的关键。

答案： 答题卡：
解：
设圆的半径为$R$，圆心角弓所对的弧长为$l$，
由于$\bigtriangleup AOB$是等边三角形（假设题目中给出了相关能证明其为等边三角形的条件，比如$OA = OB$且$\angle AOB = 60 ^{\circ} $），
所以$\angle AOB = n=60$，
根据弧长公式，弧长$l$与圆心角$n$和半径$R$的关系为：
$l = \frac{n\pi R}{180}$
将$n = 60$代入上式，得：
$l = \frac{60\pi R}{180} = \frac{\pi R}{3}$
由于题目未给出具体的半径$R$，所以弧长$l$的表达式为$\frac{\pi R}{3}$。
若题目有其他具体条件或要求，需根据实际情况进一步求解，当前答案以表达式形式给出。

典例 2 如图，半径为 $ 1 $ 的 $ \odot O $ 上有三点 $ A $，$ B $，$ C $，$ OC $ 与 $ AB $ 交于点 $ D $，$ \angle ADO = 85^{\circ} $，$ \angle CAB = 20^{\circ} $，则涂色部分的面积是$\dfrac{5\pi}{36}$。

答案： 解析：根据三角形外角的性质得到 $ \angle ACD = \angle ADO - \angle CAB = 65^{\circ} $，根据等腰三角形的性质得到 $ \angle AOC = 50^{\circ} $，由扇形的面积公式即可得到 $ S_{涂色} = \dfrac{50\pi × 1^{2}}{360} = \dfrac{5\pi}{36} $。
答案：$ \dfrac{5\pi}{36} $。

扇形面积公式为 $ S = \dfrac{n\pi R^{2}}{360} = \dfrac{1}{2}lR $，其中 $ n $ 表示 $ 1^{\circ} $ 圆心角的倍数，$ R $ 为扇形的半径。求面积的关键是确定 $ n $，$ R $ 等未知元素。

答案： 答题（解题部分空（即答题卡））:
设扇形的圆心角为 $n{°}$，半径为 $R$。
根据扇形面积公式 $S = \frac{n\pi R^{2}}{360}$。
代入 $n$ 和 $R$ 的具体值（题目未给出具体数值，因此以变量形式表示）。
计算出扇形的面积 $S = \frac{n\pi R^{2}}{360}$（如果题目给出了 $n$ 和 $R$
的具体数值，则直接代入计算即可）。
如果题目给出了扇形面积 $S$ 和半径 $R$，则需要解方程 $\frac{n\pi R^{2}}{360} = S$ 以求出 $n = \frac{360S}{\pi R^{2}}$。
如果题目给出了扇形面积 $S$ 和圆心角$n$，则需要解方程 $\frac{n\pi R^{2}}{360} = S$ 以求出半径 $R = \sqrt{\frac{360S}{n\pi}}$。

典例 3 （1）（2023·云南）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽。若圆锥的底面圆的半径为 1 分米，母线长为 4 分米，则该圆锥的高为$\sqrt{15}$分米；
（2）（苏州中考）已知圆锥的底面圆半径为 1 cm ，高为$ \sqrt{3} cm ，$则该圆锥的侧面展开图的面积为$'\pi$$ cm^{2} ；$（3）（无锡中考）用半径为 50 、圆心角为$ 120^{\circ} $的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为$\dfrac{50}{3}$；（4）（兴安盟中考）将圆心角为$ 120^{\circ} $的扇形围成底面圆半径为 1 cm 的圆锥侧面，则圆锥的母线长为 cm 。

答案： 解析：（1）设圆锥的高为 $ h $ 分米，母线长为 $ l $ 分米，底面圆的半径为 $ r $ 分米，则以 $ h $，$ l $，$ r $ 三条线段为边长的三角形是以 $ l $ 为斜边的直角三角形，所以 $ r^{2} + h^{2} = l^{2} $，即 $ h = \sqrt{l^{2} - r^{2}} = \sqrt{4^{2} - 1^{2}} = \sqrt{15} $。（2）因为圆锥的底面圆半径 $ r = 1 cm $，高 $ h = \sqrt{3} cm $，所以母线长 $ l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = 2(cm) $。所以该圆锥的侧面展开图的面积为 $ \pi rl = \pi × 1 × 2 = 2\pi(cm^{2}) $。（3）设这个圆锥的底面圆半径为 $ r $。因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，所以 $ \dfrac{120\pi × 50}{180} = 2\pi r $，解得 $ r = \dfrac{50}{3} $，即这个圆锥的底面圆半径为 $ \dfrac{50}{3} $。（4）设圆锥的母线长为

$ l cm $。因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆周长，所以 $ \dfrac{120\pi × l}{180} = 2\pi × 1 $，解得 $ l = 3 $。所以圆锥的母线长为 $ 3 cm $。
答案：（1）$ \sqrt{15} $。（2）$ 2\pi $。（3）$ \dfrac{50}{3} $。（4）$ 3 $。