《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

用一个圆心角为 $ 120^{\circ} $ 的扇形作一个圆锥的侧面，若这个圆锥的底面圆的半径恰好为 4，则这个圆锥的母线长为12。

答案： 解析：设圆锥的母线长为 $ l $。根据题意，得 $ \frac{120\pi · l}{180} = 2\pi × 4 $，解得 $ l = 12 $。
答案：12。

(1)一个圆锥的侧面展开图是半径为 8 的半圆，则该圆锥的全面积是(A)
A. $ 48\pi $
B. $ 45\pi $
C. $ 36\pi $
D. $ 32\pi $
(2)已知一个圆锥的底面半径 $ r = 5 $，高 $ h = 10 $，则这个圆锥的侧面积是$25\sqrt{5}\pi$。
(3)如图，在扇形 $ OAB $ 中，半径 $ OA $ 与 $ OB $ 的夹角为 $ 120^{\circ} $，点 $ A $ 与点 $ B $ 的距离为 $ 2\sqrt{3} $。若扇形 $ OAB $ 恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面圆的半径为$\frac{4}{3}$。

答案： 解析：
(1)圆锥的侧面积是 $ \frac{1}{2} × \pi × 8^2 = 32\pi $，底面圆的半径为 $ \frac{2\pi × 8}{2} ÷ 2\pi = 4 $，所以底面积是 $ \pi × 4^2 = 16\pi $。所以该圆锥的全面积是 $ 32\pi + 16\pi = 48\pi $。
(2)因为圆锥的底面半径 $ r = 5 $，高 $ h = 10 $，所以圆锥的母线长为 $ \sqrt{5^2 + 10^2} = 5\sqrt{5} $。所以这个圆锥的侧面积是 $ \pi × 5 × 5\sqrt{5} = 25\sqrt{5}\pi $。
(3)如图，连接 $ AB $，过点 $ O $ 作 $ OM \perp AB $ 于点 $ M $。因为 $ \angle AOB = 120^{\circ} $，$ OA = OB $，所以 $ \angle BAO = 30^{\circ} $，$ AM = \frac{1}{2}AB = \sqrt{3} $。所以易得 $ OA = 2 $。所以该圆锥底面圆的半径为 $ \frac{240\pi × 2}{180} ÷ 2\pi = \frac{4}{3} $。
答案：
(1)A。
(2)$ 25\sqrt{5}\pi $。
(3)$ \frac{4}{3} $。