《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

(1)(苏州中考)如图①，在扇形 $ OAB $ 中，$ \angle AOB = 90^{\circ} $，$ OA = \sqrt{2} $，过 $ \overset{\frown}{AB} $ 的中点 $ C $ 作 $ CD \perp OA $，$ CE \perp OB $，垂足分别为 $ D $，$ E $，则图中涂色部分的面积为(B)
(2)已知扇形的面积是 $ 3\pi cm^2 $，圆心角是 $ 120^{\circ} $，则扇形的半径是3 $ cm $，弧长是2π $ cm $。

A.$ \pi - 1 $
B.$ \frac{\pi}{2} - 1 $
C.$ \pi - \frac{1}{2} $
D.$ \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} $

答案： 解析：
(1)如图②，连接 $ OC $。因为 $ \angle AOB = 90^{\circ} $，$ C $ 是 $ \overset{\frown}{AB} $ 的中点，所以 $ \angle AOC = \angle BOC = 45^{\circ} $。因为 $ CD \perp OA $，$ CE \perp OB $，所以 $ \angle CDO = \angle CEO = 90^{\circ} $。所以四边形 $ OECD $ 是矩形，$ \angle DCO = \angle ECO = 45^{\circ} $。所以 $ DO = DC $，$ EO = EC $。所以矩形 $ OECD $ 是正方形。因为 $ OC = OA = \sqrt{2} $，所以 $ 2OD^2 = (\sqrt{2})^2 $，解得 $ OD = 1 $(负值舍去)。所以 $ S_{正方形 OECD} = 1 $。因为 $ S_{扇形 OAB} = \frac{90\pi × (\sqrt{2})^2}{360} = \frac{\pi}{2} $，所以 $ S_{涂色} = \frac{\pi}{2} - 1 $。
(2)设扇形的半径是 $ r cm $。因为扇形的面积是 $ 3\pi cm^2 $，圆心角是 $ 120^{\circ} $，所以 $ \frac{120\pi r^2}{360} = 3\pi $，解得 $ r = 3 $(负值舍去)。所以扇形的半径是 $ 3 cm $。所以弧长是 $ \frac{120\pi × 3}{180} = 2\pi (cm) $。
答案：
(1)B。
(2)3；$ 2\pi $。