《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

例1 求边长为 $a$ 的正方形的半径。

答案：
正确解答：如图，作正方形 $ABCD$ 的外接圆 $\odot O$，连接 $OA$，$OB$。
$\because AB = a$，$\angle AOB = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}$，$OA = OB$，
$\therefore$ 在 $Rt\triangle OAB$ 中，由勾股定理，得 $OA^{2} + OB^{2} = AB^{2} = a^{2}$。
$\therefore OA = \frac{\sqrt{2}}{2}a$。
$\therefore$ 边长为 $a$ 的正方形的半径是 $\frac{\sqrt{2}}{2}a$。

误区分析 正多边形的半径就是指其外接圆的半径，而不是内切圆的半径。本题易错误地把正多边形的边心距当成了它的半径从而错解为正方形的半径为 $\frac{1}{2}a$。

例2 已知 $A$，$B$，$C$ 是 $\odot O$ 上的三点，且 $\overset{\frown}{AB}$ 所对的圆心角的度数为 $30^{\circ}$，$\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆心角的度数为 $90^{\circ}$，则 $BC$ 是 $\odot O$ 的内接(D)

A.正三角形的边
B.正六边形的边
C.正方形的边
D.正三角形或正六边形的边

答案： 正确解答：如图，当 $B$，$C$ 两点在点 $A$ 的两侧时，$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AB} + \overset{\frown}{AC}$，
$\therefore \overset{\frown}{BC}$ 所对的圆心角的度数为 $30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$。
$\therefore BC$ 为 $\odot O$ 的内接正三角形的边。
当 $B'$，$C$ 两点在点 $A$ 的同侧时，$\overset{\frown}{B'C} = \overset{\frown}{AC} - \overset{\frown}{AB'}$，
$\therefore \overset{\frown}{B'C}$ 所对的圆心角的度数为 $90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
$\therefore B'C$ 为 $\odot O$ 的内接正六边形的边。
综上所述，$BC$ 是 $\odot O$ 的内接正三角形或正六边形的边。
故选 D。
误区分析 由于题目没有给出图形，所以 $B$，$C$ 两点相对于点 $A$ 有同侧和异侧两种情况。本题由于思考不全面，往往容易忽视 $B$，$C$ 两点在点 $A$ 两侧的情况，造成漏解，而错选 B。