《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例9 如图①②③…$n$，$M$，$N$ 分别是 $\odot O$ 的内接正三角形 $ABC$，内接正方形 $ABCD$，内接正五边形 $ABCDE$，…的边 $AB$，$BC$ 上的点，且 $BM = CN$，连接 $OM$，$ON$。
(1)求图①中 $\angle MON$ 的度数；
(2)图②中 $\angle MON$ 的度数是$90^{\circ}$，图③中 $\angle MON$ 的度数是$72^{\circ}$；
(3)试探究 $\angle MON$ 的度数与正 $n$ 边形边数 $n$ 的关系式(直接写出答案)。

答案： 解析：如图①，连接 $OB$，$OC$，可证 $\triangle OBM\cong \triangle OCN$，于是得 $\angle BOM = \angle CON$，进一步得 $\angle MON = \angle BOC$，即转化为求正三角形的中心角的度数。类似地，其他图形中 $\angle MON$ 也可转化为求正多边形的中心角的度数。
解：
(1)如图①，连接 $OB$，$OC$。
$\because$ 正三角形 $ABC$ 内接于 $\odot O$，
$\therefore$ 易得 $\angle OBM = \angle OCN = 30^{\circ}$，$\angle BOC = 120^{\circ}$。
又 $\because BM = CN$，$OB = OC$，
$\therefore \triangle OBM\cong \triangle OCN$。
$\therefore \angle BOM = \angle CON$。
$\therefore \angle BOM + \angle BON = \angle CON + \angle BON$，
即 $\angle MON = \angle BOC = 120^{\circ}$。
(2)$90^{\circ}$；$72^{\circ}$。
(3)$\angle MON = \frac{360^{\circ}}{n}$。

典例10 一个平面封闭图形内(含边界)任意两点之间距离的最大值称为该图形的“直径”，平面封闭图形的周长与直径之比称为该图形的“周率”。如图所示的四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左往右依次记为 $a_{1}$，$a_{2}$，$a_{3}$，$a_{4}$，则下列关系正确的是(B)


A.$a_{4} ＞ a_{2} ＞ a_{1}$
B.$a_{4} ＞ a_{3} ＞ a_{2}$
C.$a_{1} ＞ a_{2} ＞ a_{3}$
D.$a_{2} ＞ a_{3} ＞ a_{4}$

答案： 解析：设正三角形的边长是 $a$，则正三角形的周率 $a_{1} = \frac{3a}{a} = 3$。设正方形的边长是 $x$，由勾股定理，得对角线长即正方形的直径是 $\sqrt{2}x$，则正方形的周率 $a_{2} = \frac{4x}{\sqrt{2}x} = 2\sqrt{2}$。设正六边形的边长是 $b$，易得它的直径是 $2b$，则正六边形的周率 $a_{3} = \frac{6b}{2b} = 3$。设圆的半径为 $r$，则圆的周率 $a_{4} = \frac{2\pi r}{2r} = \pi$。所以 $a_{4} ＞ a_{3} = a_{1} ＞ a_{2}$。
答案：B。