《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例7 如图，在 $\odot O$ 中，$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EA}$，$TP$，$PQ$，$QR$，$RS$，$ST$ 分别是经过点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 的 $\odot O$ 的切线。求证：
（1）五边形 $ABCDE$ 是 $\odot O$ 的内接正五边形；
（2）五边形 $PQRST$ 是 $\odot O$ 的外切正五边形。

答案： 解析：在判定正多边形时，要与以前学过的很多知识相联系，如弧与弦的关系、弧与圆周角的关系、切线的性质及全等三角形的判定、性质。判定某多边形是正多边形时，一定要注意该多边形必须满足各边相等且各角也相等的条件。
证明：（1）$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EA}$，
$\therefore AB = BC = CD = DE = EA$，$\overset{\frown}{BCE} = \overset{\frown}{CDA} = 3\overset{\frown}{AB}$。$\therefore \angle EAB = \angle ABC$。
同理，$\angle ABC = \angle BCD = \angle CDE = \angle DEA$。
又 $\because$ 顶点 $A$，$B$，$C$，$D$，$E$ 都在 $\odot O$ 上，
$\therefore$ 五边形 $ABCDE$ 是 $\odot O$ 的内接正五边形。
（2）如图，连接 $OA$，$OB$，$OC$，
则 $\angle OAB = \angle OBA$，$\angle OBC = \angle OCB$。
$\because \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC}$，$\therefore \angle AOB = \angle BOC$。
$\therefore \angle OAB = \angle OBA = \angle OBC = \angle OCB$。
$\because TP$，$PQ$，$QR$ 分别是以 $A$，$B$，$C$ 为切点的 $\odot O$ 的切线，
$\therefore \angle OAP = \angle OBP = \angle OBQ = \angle OCQ = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle PAB = \angle PBA = \angle QBC = \angle QCB$。
又 $\because AB = BC$，$\therefore \triangle PAB\cong \triangle QBC$。
$\therefore \angle P = \angle Q$，$PA = QB$。
$\because PA = PB$，$QB = QC$，
$\therefore PA = PB = QB = QC$。
$\therefore PQ = 2PA$。
同理，$\angle Q = \angle R = \angle S = \angle T$，$QR = RS = ST = TP = 2PA$。
$\therefore$ 五边形 $PQRST$ 是正五边形。
又 $\because$ 五边形 $PQRST$ 的各边都与 $\odot O$ 相切，
$\therefore$ 五边形 $PQRST$ 是 $\odot O$ 的外切正五边形。

典例8(2023·台州)如图①，$\odot O$ 的圆心 $O$ 与正方形的中心重合，$\odot O$ 的半径和正方形的边长都为 $4$，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为(4 - 2√2)


A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$4 + 2\sqrt{2}$
D.$4 - 2\sqrt{2}$

答案： 解析：如图②，设点 $A$，$C$ 为正方形的相邻顶点，连接 $OA$ 并延长，交 $\odot O$ 于点 $B$，在正方形的边 $AC$ 上取异于点 $A$ 的点 $D$，连接 $OD$，$BD$，$OC$。由三角形三边关系，得 $OB - OD ＜ BD$，而 $OB$ 的长为定值($\odot O$ 的半径)，所以只有当点 $D$ 在点 $A$ 时，$OD$ 的长取得最大值，此时 $OB - OD$ 最小，最小值为 $OB - OA$。因为 $OA = OC$，$AC = 4$，所以易知 $2OA^{2} = 4^{2}$，解得 $OA = 2\sqrt{2}$(负值舍去)。所以 $AB = 4 - 2\sqrt{2}$。
答案：D。