《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例6 如图①，某公园有一个边长为 $4m$ 的正三角形花坛，三角形的顶点 $A$，$B$，$C$ 处各有一棵古树，现拟把原来的花坛改建成一个圆形或平行四边形花坛，且使原来的三棵古树（不能移动）位于圆周上或平行四边形的顶点上。
（1）请画出圆形花坛设计示意图，并求出此时花坛的面积（结果保留 $\pi$）；
（2）请画出一个平行四边形花坛设计示意图，并求出此时花坛的面积（结果保留根号）；
（3）为了保证花坛的面积较大，应设计成上面哪种图形（参考数据：$\pi\approx 3.14$，$\sqrt{3}\approx 1.73$）？

答案：
解析：（1）只要画 $\triangle ABC$ 的外接圆，并求出面积即可。（2）只要以 $A$，$B$，$C$ 为三个顶点画平行四边形，并求出面积即可。（3）比较前面求出的两个面积即可。
解：（1）设计如图②所示。
设正三角形 $ABC$ 的中心为点 $O$，过点 $O$ 作 $OH\perp BC$ 于点 $H$，连接 $OB$。
$\because BC = 4m$，$OH\perp BC$，
$\therefore BH = \frac{1}{2}BC = 2m$。
设 $OH = xm$。
$\because \angle OBH = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$，
$\therefore OB = 2xm$。
在 $Rt\triangle OBH$ 中，由勾股定理，得 $(2x)^{2} - x^{2} = 2^{2}$，解得 $x_{1} = \frac{2}{3}\sqrt{3}$，$x_{2} = -\frac{2}{3}\sqrt{3}$（不合题意，舍去）。
$\therefore OB = \frac{4}{3}\sqrt{3}m$。
$\therefore S_{\odot O} = \pi× (\frac{4}{3}\sqrt{3})^{2} = \frac{16}{3}\pi(m^{2})$。
（2）设计不唯一，如图③所示。
过点 $A$ 作 $AE\perp BC$ 于点 $E$。
由题意，得 $\angle B = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle BAE = 30^{\circ}$。
$\because AB = 4m$，
$\therefore BE = 2m$。
$\therefore$ 在 $Rt\triangle ABE$ 中，$AE = \sqrt{4^{2} - 2^{2}} = 2\sqrt{3}(m)$。
$\therefore S_{□ ABCD} = 4× 2\sqrt{3} = 8\sqrt{3}(m^{2})$。
（3）$\because \frac{16}{3}\pi\approx 16.75$，$8\sqrt{3}\approx 13.84$，
$16.75 ＞ 13.84$，
$\therefore S_{\odot O} ＞ S_{□ ABCD}$。
$\therefore$ 为了保证花坛的面积较大，应设计成圆形。