《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

3. 求边数
典例3 已知正多边形的边长为 $2$，边心距为 $\sqrt{3}$，则这个正多边形的边数为()

A.$12$
B.$6$
C.$4$
D.$3$

答案：
解析：如图，设正多边形的中心为点 $O$，$AB$ 为一边，过点 $O$ 作 $OD\perp AB$，垂足为 $D$。依题意，得 $AB = 2$，$OD = \sqrt{3}$。因为 $OA = OB$，所以 $AD = \frac{1}{2}AB = 1$。在 $Rt\triangle AOD$ 中，$OA = \sqrt{OD^{2} + AD^{2}} = 2$，所以 $OA = AB = OB$。所以 $\triangle ABO$ 是等边三角形。所以 $\angle AOB = 60^{\circ}$。所以正多边形的边数为 $\frac{360^{\circ}}{60^{\circ}} = 6$。
答案：B。
方法归纳
求正多边形边数的方法
求正多边形的边数可计算正多边形的中心角的度数(即正多边形的任意一边的两个端点与中心的连线的夹角)，通过画出正多边形的两条半径与一边构成的等腰三角形，作等腰三角形底边上的高，把问题转化到直角三角形中求解。求得中心角度数 $\alpha$ 后，由边数 $= \frac{360^{\circ}}{\alpha}$ 计算即可。

4. 求面积
典例4 以半径为 $2$ 的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边长作三角形，则该三角形的面积是(A)

A.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$

答案： 解析：如图①，$OC = 2$，易知 $\angle OCD = 30^{\circ}$，所以 $OD = \frac{1}{2}× 2 = 1$。如图②，$OB = 2$，易知 $\angle OBE = \angle BOE = 45^{\circ}$，所以 $OE = BE$。所以由勾股定理，易得 $OE = \sqrt{2}$。如图③，$OA = 2$，易知 $\angle AOD = 30^{\circ}$，所以 $AD = 1$。由勾股定理，易得 $OD = \sqrt{3}$。所以该三角形的三边长分别为 $1$，$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$。因为 $1^{2} + (\sqrt{2})^{2} = (\sqrt{3})^{2}$，所以该三角形是直角三角形，且 $1$，$\sqrt{2}$ 为直角边的长。所以该三角形的面积是 $\frac{1}{2}× 1× \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：A。

5. 与正多边形相关的证明
典例5 如图，正五边形 $ABCDE$ 的对角线 $AC$ 和 $BE$ 相交于点 $M$。求证：
（1）$AC// ED$；
（2）$ME = AE$。

答案：
解析：画正五边形 $ABCDE$ 的外接圆，用圆中角的关系证明即可。
证明：（1）如图，作出正五边形 $ABCDE$ 的外接圆 $\odot O$，则 $\overset{\frown}{AB}$ 所对的圆心角的度数为 $\frac{1}{5}× 360^{\circ} = 72^{\circ}$。
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EA}$，它们所对的圆心角的度数均为 $72^{\circ}$。
$\therefore \angle EAC = \frac{1}{2}× (72^{\circ}× 2) = 72^{\circ}$。
同理，$\angle AED = \frac{1}{2}× (72^{\circ}× 3) = 108^{\circ}$。
$\therefore \angle EAC + \angle AED = 180^{\circ}$。
$\therefore AC// ED$。
（2）$\because \angle BAE = \angle AED = 108^{\circ}$，$AE = AB$，
$\therefore \angle AEB = 36^{\circ}$。
又 $\because \angle EAC = 72^{\circ}$，
$\therefore \angle EMA = 180^{\circ} - \angle AEB - \angle EAC = 72^{\circ}$。
$\therefore \angle EMA = \angle EAC$。
$\therefore ME = AE$。