《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例13先阅读材料，再解答问题:

答案： 解方程:x²−|x|−6=0.
解:当x≥0时,原方程化为x²一x−6=0,
解得x1=3,x2=−2(不合题意,舍去);
当x＜0时,原方程化为x²十x−6=0,
解得x3=−3,x4=2(不合题意，舍去).
∴原方程的根是x1=3,x2=−3.
请参照上面的方法解方程:x²−|x−1|−3=0.

例1(嘉兴中考)如图所示为小敏与小霞解方
程3(x−3)=(x−3)²的过程.

你认为她们的解法是否正确？写出你的解答
过程.
正确解

答:她们的解法不正确.
正确的解答过程:移项,得3(x−3)−(x一
3)²=0.提取公因式,得(x−3)(3−x+3)=
0.∴x−3=0或3−x+3=0,解得x1=3,
x2=6.

答案： 她们的解法不正确。
移项，得$3(x - 3) - (x - 3)^2 = 0$，
提取公因式，得$(x - 3)[3 - (x - 3)] = 0$，
即$(x - 3)(3 - x + 3) = 0$，
$(x - 3)(6 - x) = 0$，
$\therefore x - 3 = 0$或$6 - x = 0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2 = 6$。

例2已知关于x的一元二次方程x²+(2k十
1)x十k²=0有两个不等的实数根x1,x2,且
(1+x1)(1+x2)=3,求k的值.
正确解

答:∵一元二次方程x²+(2k+1)x十
k²=0有两个不等的实数根，∴△=(2k+
1)²−4k²＞0,解得k＞−$\frac{1}{4}$.∵(1+x1)(1+
x2)=1+(x1+x2)+x1×2=3,x1+x2=
−(2k+1),x1×2=k²,∴1−(2k+1)+k²=
3.整理,得k²−2k−3=0,解得k1=3,
k2=−1(不合题意，舍去).，∴k的值为3.

答案： 答题卡作答：
∵方程 $x^{2} + (2k + 1)x + k^{2} = 0$ 有两个不等的实数根 $x_1$ 和 $x_2$，
∴判别式 $\Delta = (2k + 1)^{2} - 4k^{2} ＞ 0$，
化简得：
$4k^{2} + 4k + 1 - 4k^{2} ＞ 0$
$4k + 1 ＞ 0$
$k ＞ -\frac{1}{4}$
根据二次方程的根与系数的关系，有：
$x_1 + x_2 = - (2k + 1)$
$x_1 × x_2 = k^{2}$
又因为 $(1 + x_1)(1 + x_2) = 3$，
展开得：
$1 + x_1 + x_2 + x_1 × x_2 = 3$
代入 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 × x_2$ 的值，得：
$1 - (2k + 1) + k^{2} = 3$
整理得：
$k^{2} - 2k - 3 = 0$
因式分解得：
$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得 $k_1 = 3$， $k_2 = -1$。
∵ $k ＞ -\frac{1}{4}$，
∴ $k = -1$（不合题意，舍去）。
∴ $k$ 的值为 $3$。