《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例5 如图①，点 $ A $ 在 $ \odot O $ 上，求作 $ \odot O $ 的内接正方形 $ ADBC $.

答案： 解析：作互相垂直的两条直径，把 $ \odot O $ 的圆周四等分，顺次连接各等分点即可.
解：如图②，（1）作直径 $ AB $；
（2）过点 $ O $ 作 $ AB $ 的垂线，交 $ \odot O $ 于点 $ C $，$ D $；
（3）顺次连接点 $ A $，$ D $，$ B $，$ C $，则四边形 $ ADBC $ 就是所要求作的 $ \odot O $ 的内接正方形.
点拨
1. 题中已确定了点 $ A $，所以画第一条直径时必须过点 $ A $.
2. 本题是“求作”，暗示尺规作图（即只能用直尺和圆规完成作图，不能用刻度尺或量角器度量）.如果题目中要求“画图”，那么可用一切画图工具，切莫混淆.

1. 求线段长
典例1 如图，正方形 $ABCD$ 内接于 $\odot O$，其边长为 $4$，则 $\odot O$ 的内接正三角形 $EFG$ 的边长为$2\sqrt{6}$。

答案： 解析：如图，连接 $AC$，$OE$，$OF$，过点 $O$ 作 $OM\perp EF$ 于点 $M$，则 $EM = FM$。因为四边形 $ABCD$ 是正方形，所以 $AB = BC = 4$，$\angle ABC = 90^{\circ}$。所以 $AC$ 是 $\odot O$ 的直径，$AC = 4\sqrt{2}$。所以 $OE = OF = 2\sqrt{2}$。由 $\triangle EFG$ 是 $\odot O$ 的内接正三角形，知点 $O$ 是 $\triangle EFG$ 的中心，所以 $\angle OEM = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$。所以 $OM = \frac{1}{2}OE = \sqrt{2}$。所以 $EM = \sqrt{(2\sqrt{2})^{2} - (\sqrt{2})^{2}} = \sqrt{6}$。所以 $EF = 2EM = 2\sqrt{6}$。
答案：$2\sqrt{6}$。
对接教材
本题与教材 $P108$ 习题 $24.3$ 第 $1$ 题相对应，本题与教材习题都是利用半径、边心距、边长的一半围成的直角三角形来解决问题，解决这类问题往往需要构造直角三角形并利用特殊角、勾股定理等解题。

2. 求角度
典例2(贵阳中考)如图，$\odot O$ 与正五边形 $ABCDE$ 的两边 $AE$，$CD$ 相切于 $A$，$C$ 两点，则 $\angle AOC$ 的度数是()

A.$144^{\circ}$
B.$130^{\circ}$
C.$129^{\circ}$
D.$108^{\circ}$

答案：
解析：因为正五边形的内角 $= \frac{(5 - 2)× 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ}$，所以 $\angle E = \angle D = 108^{\circ}$。因为 $AE$，$CD$ 是 $\odot O$ 的切线，所以 $\angle OAE = \angle OCD = 90^{\circ}$。因为五边形 $AEDCO$ 的内角和为 $(5 - 2)× 180^{\circ} = 540^{\circ}$，所以 $\angle AOC = 540^{\circ} - 2× 90^{\circ} - 2× 108^{\circ} = 144^{\circ}$。
答案：A。