《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例3 如图，正五边形 $ ABCDE $ 内接于 $ \odot O $，连接 $ BD $，则 $ \angle ABD $ 的度数是(C)

A.$ 60^{\circ} $
B.$ 70^{\circ} $
C.$ 72^{\circ} $
D.$ 144^{\circ} $

答案： 解析：因为五边形 $ ABCDE $ 为正五边形，所以 $ \angle ABC = \angle C = \dfrac{(5 - 2) × 180^{\circ}}{5} = 108^{\circ} $.因为 $ CD = CB $，所以 $ \angle CBD = \dfrac{180^{\circ} - 108^{\circ}}{2} = 36^{\circ} $.所以 $ \angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 72^{\circ} $.
答案：C.

示例4 如图，在正六边形 $ ABCDEF $ 中，$ AB = 10 $，$ OH \perp BC $ 于点 $ H $.求这个正六边形的半径、边心距、周长、面积.

答案：
解：如图，连接 $ OC $. $ \because $ 正六边形的中心角为 $ \dfrac{360^{\circ}}{6} = 60^{\circ} $，$ OB = OC $，
$ \therefore \triangle OBC $ 是等边三角形. $ \therefore $ 半径 $ R = OB = BC = AB = 10 $. $ \because OH \perp BC $，$ \therefore $ 易得 $ \angle BOH = 30^{\circ} $. $ \therefore BH = \dfrac{1}{2}OB = 5 $. $ \therefore $ 在 $ Rt \triangle OBH $