《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例2 如图，$ \triangle AOB $ 是正三角形，以点 $ O $ 为圆心，$ OA $ 长为半径作 $ \odot O $，直径 $ FC // AB $，$ AO $，$ BO $ 的延长线分别交 $ \odot O $ 于点 $ D $，$ E $.求证：六边形 $ ABCDEF $ 为 $ \odot O $ 的内接正六边形.

证明：$ \because \triangle AOB $ 是正三角形，
$ \therefore \angle AOB = \angle OAB = \angle OBA = 60^{\circ} $.
$ \because FC // AB $，
$ \therefore \angle COB = \angle OBA = 60^{\circ} $，$ \angle FOA = \angle OAB = 60^{\circ} $.
由对顶角相等，得 $ \angle EOD = 60^{\circ} $.
由平角的概念，得 $ \angle FOE = \angle COD = 60^{\circ} $.
$ \therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DE} = \overset{\frown}{EF} = \overset{\frown}{FA} $.
$ \therefore $ 六边形 $ ABCDEF $ 为 $ \odot O $ 的内接正六边形.

答案： 证明：
∵△AOB是正三角形，
∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°，OA=OB=AB.
∵FC//AB，
∴∠COB=∠OBA=60°（两直线平行，内错角相等），
∠FOA=∠OAB=60°（两直线平行，内错角相等）.
∵∠AOB与∠DOE是对顶角，
∴∠DOE=∠AOB=60°.
∵AO延长线交⊙O于D，
∴∠AOD=180°（平角定义），
∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=180°-60°=120°，
又∠BOC=60°，
∴∠COD=∠BOD-∠BOC=120°-60°=60°.
同理，BO延长线交⊙O于E，
∴∠BOE=180°（平角定义），
∴∠AOE=∠BOE-∠AOB=180°-60°=120°，
又∠FOA=60°，
∴∠FOE=∠AOE-∠FOA=120°-60°=60°.
∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA（同圆中，相等的圆心角所对的弦相等），
且六边形ABCDEF的顶点均在⊙O上，
∴六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形.