《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

4.与一元二次方程根的定义的综合应用
典例9一元二次方程x²−3x+1=0的两个
根为x1,x2,则x²+3×2+x1×2−2=
7.

答案： 解析:利用一元二次方程根的定义，得x²=3×1一
1,则x²+3×2+x1×2−2=3(x1+x2)+xx2−3.
根据根与系数的关系，得x1+x2=3,x1×2=1,所
以原式=3×3+1−3=7.
答案:7.

5.与根的判别式的综合应用
典例10(黄石中考)已知关于x的一元二次
方程x²+2mx十m²+m=0有实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2,
且x²+x²=12,求m的值.

答案： 解析:
(1)根据关于x的一元二次方程x²+2mx十
m²+m=0有实数根,得△=(2m)²−4(m²+m)≥
0,然后解关于m的不等式即可.
(2)根据根与系数
的关系,得x1+x2=−2m,x1×2=m²+m,利用整
体代入的方法，得m²一m−6=0,然后解关于m的
方程即可.
解:
(1)根据题意,得△=(2m)²−4(m²十m)=
−4m≥0,解得m≤0.
(2)根据题意,得x1+x2=−2m,x1×2=
m²+m.
∵x²+x²=(x1+x2)²−2×1×2=
12,
∴(−2m)²−2(m²+m)=12,即m²−
m−6=0,解得m1=−2,m2=3.
∵m＜0,
∴m的值为−2.

典例11(枣庄中考)若等腰三角形的一边长
是4,另两边的长是关于x的方程x²−6x十
n=0的两个根,则n的值为8或9.

答案： 解析:当4为腰长时，将x=4代入x²−6x十n=0,
得4²−6×4+n=0,解得n=8.当n=8时,原方程
为x²−6x+8=0,解得x=2,x2=4.因为2+4＞
4,所以n=8符合题意.当4为底边长时，关于x的
方程x²−6x十n=0有两个相等的实数根，所以
△=(−6)²−4×1×n=0,解得n=9.当n=9时,
原方程为x²−6.x+9=0,解得x1=x2=3.因为3+
3＞4,所以n=9符合题意.所以n的值为8或9.
答案:8或9.

典例12定义:如果一元二次方程ax²十bx十
c=0(a≠0)满足a一b十c=0,那么我们称这
个方程为“凤凰方程”
(1)判断一元二次方程3x²−4x−7=0是否
为“凤凰方程”，并说明理由;
(2)已知2x²一mAc−n=0是关于x的“凤凰
方程”,若m是此“凤凰方程”的一个根，求m
的值.

答案： 解析:
(1)利用有一个根为−1的一元二次方程为
“凤凰方程”对一元二次方程3x²−4x−7=0是否
为“凤凰方程”进行判断.
(2)根据“凤凰方程”的定
义得到2+m−n=0,再把x=m代入2x²−mx一
n=0得2m²−m²−n=0,然后消去n得到关于m
的一元二次方程，最后解方程即可.
解:
(1)是.理由:当x=−1时,3x²−4x一
7=3+4−7=0,
∴一元二次方程3x²一
4x−7=0为“凤凰方程”.
(2)根据题意,得2+m−n=0①.把x=m
代入2x²−mx−n=0,得2m²−m²−n=0②.
②−①,得m²−m−2=0,解得m1=2,
m2=−1,即m的值为2或−1.