《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 10 如图，$PA$，$PB$，$DE$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A$，$B$，$C$，点 $D$ 在 $PA$ 上，点 $E$ 在 $PB$ 上。
(1) 若 $PA = 10$，求 $\triangle PDE$ 的周长；
(2) 若 $\angle P = 50°$，求 $\angle DOE$ 的度数。

答案： 解析：
(1) 由于 $PA$，$PB$，$DE$ 都是 $\odot O$ 的切线，可根据切线长定理将 $PA$，$PB$ 的长度和转化为 $\triangle PDE$ 的周长。
(2) 连接 $OA$，$OC$，$OB$，利用切线长定理易得 $\angle DOE = \frac{1}{2}\angle AOB$，根据四边形的内角和为 $360°$，可得 $\angle P + \angle AOB = 180°$，进而求出 $\angle DOE$ 的度数。
解：
(1) $\because PA$，$PB$，$DE$ 分别切 $\odot O$ 于点 $A$，$B$，$C$，$\therefore PA = PB = 10$，$DA = DC$，$EC = EB$。$\therefore C_{\triangle PDE} = PD + DE + PE = PD + DA + EB + PE = PA + PB = 10 + 10 = 20$。$\therefore \triangle PDE$ 的周长为 $20$。
(2) 如图，连接 $OA$，$OC$，$OB$。$\because$ 易得 $OA \perp PA$，$OB \perp PB$，$OC \perp DE$，$\therefore \angle DAO = \angle EBO = 90°$。$\therefore$ 易得 $\angle P + \angle AOB = 180°$。$\therefore \angle AOB = 180° - 50° = 130°$。$\because$ 易得 $\angle AOD = \angle DOC$，$\angle COE = \angle BOE$，$\therefore \angle DOE = \angle DOC + \angle COE = \frac{1}{2}\angle AOB = \frac{1}{2} × 130° = 65°$。

典例 11 如图①，半圆 $O$ 的直径 $DE = 12cm$，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ACB = 90°$，$\angle ABC = 30°$，$BC = 12cm$，半圆 $O$ 以 $2cm/s$ 的速度从左向右运动，在运动过程中，点 $D$，$E$ 始终在直线 $BC$ 上。设运动时间为 $t s$，当 $t = 0$ 时，半圆 $O$ 在 $\triangle ABC$ 的左侧，$OC = 8cm$。当 $t$ 为何值时，$\triangle ABC$ 一边所在的直线与半圆 $O$ 所在的圆相切？

答案：
解析：半圆的运动分四种情况：① 当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，$AC$ 与半圆 $O$ 所在的圆相切；② 当点 $O$ 运动到点 $C$ 时，$AB$ 与半圆 $O$ 所在的圆相切；③ 当点 $O$ 运动到 $BC$ 的中点时，$AC$ 再次与半圆 $O$ 所在的圆相切；④ 当点 $O$ 运动到点 $B$ 的右侧，且 $OB = 12cm$ 时，$AB$ 的延长线与半圆 $O$ 所在的圆相切。分别求得半圆的圆心移动的距离后，再求得运动的时间。
解：① 如图②，当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，$AC \perp OE$，$OC = OE = 6cm$，$\therefore AC$ 与半圆 $O$ 所在的圆相切。此时点 $O$ 运动了 $2cm$，$t = \frac{2}{2} = 1$。
② 如图③，当点 $O$ 运动到点 $C$ 时，过点 $O$ 作 $OF \perp AB$，垂足为 $F$。在 $Rt\triangle FOB$ 中，$\because \angle FBO = 30°$，$OB = 12cm$，$\therefore OF = 6cm$，即 $OF$ 的长等于半圆 $O$ 的半径。$\therefore AB$ 与半圆 $O$ 所在的圆相切。此时点 $O$ 运动了 $8cm$，$t = \frac{8}{2} = 4$。
③ 如图④，当点 $O$ 运动到 $BC$ 的中点时，$AC \perp OD$，$OC = OD = 6cm$，$\therefore AC$ 与半圆 $O$ 所在的圆相切。此时点 $O$ 运动了 $14cm$，$t = \frac{14}{2} = 7$。
④ 如图⑤，当点 $O$ 运动到点 $B$ 的右侧，且 $OB = 12cm$ 时，过点 $O$ 作 $OQ \perp AB$，交 $AB$ 的延长线于点 $Q$。在 $Rt\triangle QOB$ 中，$\angle OBQ = 30°$，$\therefore OQ = 6cm$，即 $OQ$ 的长等于半圆 $O$ 所在的圆的半径。$\therefore$ 直线 $AB$ 与半圆 $O$ 所在的圆相切。此时点 $O$ 运动了 $32cm$，$t = \frac{32}{2} = 16$。
综上所述，当 $t = 1$ 或 $4$ 或 $7$ 或 $16$ 时，$\triangle ABC$ 一边所在的直线与半圆 $O$ 所在的圆相切。