《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 8（通辽中考）如图①，$AB$ 是 $\odot O$ 的直径，过点 $A$ 作 $\odot O$ 的切线 $AC$，$P$ 是射线 $AC$ 上的动点，连接 $OP$，过点 $B$ 作 $BD // OP$，交 $\odot O$ 于点 $D$，连接 $PD$。
(1) 求证：$PD$ 是 $\odot O$ 的切线；
(2) 当四边形 $POBD$ 是平行四边形时，求 $\angle APO$ 的度数。

答案：
解析：
(1) 连接 $OD$，寻找条件证 $\triangle AOP \cong \triangle DOP$，得到 $\angle PDO = 90°$，从而判断 $PD$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2) 由四边形 $POBD$ 是平行四边形，得 $PD = OB = OA$，由 $\triangle AOP \cong \triangle DOP$，得 $PA = PD$，因此 $PA = OA$，即 $\triangle PAO$ 是等腰直角三角形，即可得 $\angle APO$ 的度数。
解：
(1) 如图②，连接 $OD$。$\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A$，$\therefore PA \perp AB$。$\therefore \angle PAO = 90°$。$\because BD // OP$，$\therefore \angle DBO = \angle AOP$，$\angle BDO = \angle DOP$。$\because OD = OB$，$\therefore \angle BDO = \angle DBO$。$\therefore \angle DOP = \angle AOP$。在 $\triangle AOP$ 和 $\triangle DOP$ 中，$\begin{cases} AO = DO, \\ \angle AOP = \angle DOP, \\ PO = PO, \end{cases}$ $\therefore \triangle AOP \cong \triangle DOP$。$\therefore \angle PAO = \angle PDO = 90°$。$\therefore OD \perp PD$。$\because OD$ 是 $\odot O$ 的半径，$\therefore PD$ 是 $\odot O$ 的切线。
(2) 由
(1)，知 $\triangle AOP \cong \triangle DOP$，$\therefore PA = PD$。$\because$ 四边形 $POBD$ 是平行四边形，$\therefore PD = OB$。$\because OB = OA$，$\therefore OA = PA$。$\therefore \angle AOP = \angle APO$。$\because \angle PAO = 90°$，$\therefore \angle APO = \angle AOP = 45°$。

典例 9 如图，点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 的内部，连接 $AP$，$PC$，且 $\angle B = 50°$。
(1) 若点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，求 $\angle P$ 的度数；
(2) 若点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，求 $\angle P$ 的度数。

答案： 解析：
(1) 若点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，则 $\angle P$ 是 $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆心角，$\angle B$ 是 $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆周角，可由圆周角定理求解。
(2) 若点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，则可由内心的定义（即内心是三角形三条角平分线的交点）、三角形内角和定理求解。
解：
(1) $\because$ 点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的外心，$\therefore \angle B$ 是 $\odot P$ 中 $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆周角，$\angle P$ 是 $\odot P$ 中 $\overset{\frown}{AC}$ 所对的圆心角。$\therefore \angle P = 2\angle B = 2 × 50° = 100°$。
(2) $\because$ 点 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的内心，$\therefore \angle 1 = \angle 2$，$\angle 3 = \angle 4$。$\because \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 180° - \angle B = 180° - 50° = 130°$，$\therefore \angle 2 + \angle 3 = 65°$。$\therefore \angle P = 180° - 65° = 115°$。