《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

2. 确定取值范围
典例 6 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，$AC = 4$，$AB = 5$，以点 $C$ 为圆心，$R$ 为半径画圆。若 $\odot C$ 与边 $AB$ 只有一个公共点，则 $R$ 的取值范围是()
A.$R = \frac{12}{5}$
B.$3 \leq R \leq 4$
C.$0 ＜ R ＜ 3$ 或 $R ＞ 4$
D.$R = \frac{12}{5}$ 或 $3 ＜ R \leq 4$

答案：
解析：如图，过点 $C$ 作 $CD \perp AB$ 于点 $D$。因为 $AC = 4$，$AB = 5$，$\angle ACB = 90°$，所以由勾股定理易得 $BC = 3$。因为 $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}BC · AC = \frac{1}{2}AB · CD$，所以 $CD = \frac{BC · AC}{AB} = \frac{12}{5}$。当 $AB$ 与圆相切时，$\odot C$ 与斜边 $AB$ 只有一个公共点，所以 $R = CD = \frac{12}{5}$。当边 $AB$ 与 $\odot C$ 的位置如图所示时，$\odot C$ 与边 $AB$ 也有一个公共点，所以 $3 ＜ R \leq 4$。综上所述，$R = \frac{12}{5}$ 或 $3 ＜ R \leq 4$。

答案：D.

典例 7 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$C$ 为 $\odot O$ 上一点，$AD$ 和过点 $C$ 的 $\odot O$ 的切线互相垂直，垂足为 $D$，且交 $\odot O$ 于点 $E$。连接 $OC$，$BE$，相交于点 $F$。
(1) 求证：$EF = BF$；
(2) 若 $DC = 4$，$DE = 2$，求 $AB$ 的长。

答案： 解析：
(1) 利用切线的性质、平行线的性质、垂径定理证得 $OF$ 平分线段 $BE$ 即可。
(2) 利用矩形的性质和勾股定理构造方程解决问题。
解：
(1) $\because CD$ 是 $\odot O$ 的切线，$\therefore OC \perp CD$。$\because AD \perp CD$，$\therefore OC // AD$。$\therefore \angle AEB = \angle OFB$。$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径，$\therefore \angle AEB = 90°$。$\therefore \angle OFB = 90°$。$\therefore OF \perp BE$。$\therefore EF = BF$。
(2) $\because \angle DEF = 180° - \angle AEB = 90°$，$\therefore \angle DEF = \angle OCD = \angle CDE = 90°$。$\therefore$ 四边形 $EFCD$ 是矩形。$\therefore EF = DC$，$DE = CF$。$\because DC = 4$，$DE = 2$，$\therefore EF = 4$，$CF = 2$。$\therefore BF = 4$。设 $\odot O$ 的半径为 $r$。$\because \angle OFB = 90°$，$\therefore OB^2 = OF^2 + BF^2$，即 $r^2 = (r - 2)^2 + 4^2$，解得 $r = 5$。$\therefore AB = 2r = 10$。
对接教材
本题与教材 $P102$ 习题 $24.2$ 第 $12$ 题相对应，本题与教材习题主要考查了圆的切线的性质，这类问题属于中考的考查热点。