《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

3. 确定三角形外接圆圆心的位置
典例 3 如图，在平面直角坐标系中，$\triangle ABC$ 的外接圆的圆心坐标是(5, 2) 。

答案： 解析：$\triangle ABC$ 的外接圆的圆心为三角形两边垂直平分线的交点，借助网格图可以直接作出 $AB$ 和 $BC$ 的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外接圆的圆心，因此 $\triangle ABC$ 的外接圆的圆心坐标是 $(5, 2)$。
答案：$(5, 2)$。

4. 实际应用
典例 4 如图，在 $A$ 地向北 $90m$ 的 $B$ 处有一栋民房，向东 $120m$ 的 $C$ 处有一变电设施，在 $BC$ 的中点 $D$ 处有一古建筑。因施工需要，必须在 $A$ 处进行爆破，为了使民房、变电设施、古建筑都不受到破坏，爆破的半径应该控制在什么范围内？

答案： 解析：先用勾股定理求出 $BC$ 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到 $AD$ 的长，为了使民房、变电设施、古建筑都不受到破坏，爆破的半径应该比 $AB$，$AC$，$AD$ 的长都小。
解：在 $Rt\triangle ABC$ 中，$\because AB = 90m$，$AC = 120m$，$\angle BAC = 90°$，$\therefore BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{90^2 + 120^2} = 150(m)$。$\because D$ 是 $BC$ 的中点，$\therefore AD = \frac{1}{2}BC = 75m$。为了使民房、变电设施、古建筑都不受到破坏，爆破的半径应该比 $AB$，$AC$，$AD$ 的长都小，$\therefore$ 爆破的半径应该控制在 $75m$ 内。

1. 判断位置关系
典例 5 如图①，在平面直角坐标系中，$\odot O$ 的半径为 $1$，则直线 $y = -2x + \sqrt{5}$ 与 $\odot O$ 的位置关系是()

A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定

答案：
解析：如图②，过点 $O$ 作 $OC \perp$ 直线 $AB$，垂足为 $C$，直线 $AB$ 对应的函数解析式为 $y = -2x + \sqrt{5}$。令 $x = 0$，解得 $y = \sqrt{5}$；令 $y = 0$，解得 $x = \frac{\sqrt{5}}{2}$。所以点 $A$ 的坐标为 $(\frac{\sqrt{5}}{2}, 0)$，点 $B$ 的坐标为 $(0, \sqrt{5})$，即 $OA = \frac{\sqrt{5}}{2}$，$OB = \sqrt{5}$。在 $Rt\triangle AOB$ 中，根据勾股定理，得 $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \frac{5}{2}$。因为 $S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2}AB · OC = \frac{1}{2}OA · OB$，所以 $OC = \frac{OA · OB}{AB} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2} × \sqrt{5}}{\frac{5}{2}} = 1$。又因为 $\odot O$ 的半径为 $1$，所以直线 $y = -2x + \sqrt{5}$ 与 $\odot O$ 的位置关系是相切。
答案：C.