《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例11 如图，边长为$2\sqrt{3}$的等边三角形$ABC$的内切圆$\odot O$的半径为(1)

A.$1$
B.$\sqrt{3}$
C.$2$
D.$2\sqrt{3}$

答案： 解析：如图，连接$AO$，$CO$，延长$CO$交$AB$于点$H$.因为点$O$是$\triangle ABC$的内心，所以$CH$平分$\angle BCA$，$AO$平分$\angle BAC$.因为$\triangle ABC$为等边三角形，所以$\angle CAB = 60^{\circ}$，$CH\perp AB$，$AH = BH=\frac{1}{2}AB=\sqrt{3}$.所以$\angle OAH=\frac{1}{2}\angle CAB = 30^{\circ}$.所以$OA = 2OH$.设$OH = x$，则$OA = 2x$.在$\mathrm{Rt}\triangle OAH$中，由勾股定理，得$OA^{2}=OH^{2}+AH^{2}$，即$(2x)^{2}=x^{2}+(\sqrt{3})^{2}$，解得$x = 1$(负值舍去).所以$OH = 1$.所以$\odot O$的半径为$1$.
答案：A.
方法规律
本题中需构造$\mathrm{Rt}\triangle OAH$解题，还要注意含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质.
拓展
直角三角形内切圆的半径$r=\frac{a + b - c}{2}$(其中$a$，$b$为直角边长，$c$为斜边长)，此公式可直接用于填空题和选择题中的计算.

1. 判断位置关系
典例 1 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 8$，$AD = 3\sqrt{5}$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，且 $BP = 3AP$。以点 $P$ 为圆心，$PD$ 长为半径作圆。下列判断正确的是()
A.点 $B$，$C$ 均在 $\odot P$ 外
B.点 $B$ 在 $\odot P$ 外，点 $C$ 在 $\odot P$ 内
C.点 $B$ 在 $\odot P$ 内，点 $C$ 在 $\odot P$ 外
D.点 $B$，$C$ 均在 $\odot P$ 内

答案：
解析：如图，连接 $CP$。因为 $AB = 8$，点 $P$ 在边 $AB$ 上，且 $BP = 3AP$，所以 $AP = 2$，$PB = 6$。所以易得 $r = PD = \sqrt{AD^2 + AP^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + 2^2} = 7$，$PC = \sqrt{PB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{5})^2} = 9$。因为 $6 ＜ 7$，$9 ＞ 7$，所以点 $B$ 在 $\odot P$ 内，点 $C$ 在 $\odot P$ 外。

答案：C.

2. 确定取值范围
典例 2 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，$AC = 20$，$AB = 25$，以点 $C$ 为圆心，$r$ 为半径画圆，使得点 $A$ 在 $\odot C$ 外，点 $B$ 在 $\odot C$ 内，则 $r$ 的取值范围是$15 ＜ r ＜ 20$ 。

答案： 解析：在 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90°$，$AC = 20$，$AB = 25$，根据勾股定理，得 $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = 15$。以点 $C$ 为圆心，使得点 $A$ 在 $\odot C$ 外，则 $AC ＞ r$，即 $r ＜ 20$；点 $B$ 在 $\odot C$ 内，则 $BC ＜ r$，即 $r ＞ 15$。所以 $r$ 的取值范围是 $15 ＜ r ＜ 20$。
答案：$15 ＜ r ＜ 20$。