《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

示例5 如图①，在$\triangle ABC$中，$AB = AC = 4\mathrm{cm}$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，以底边$BC$的中点$D$为圆心，下列以$r$为半径的圆与$AB$有怎样的位置关系？

（1）$r = 1\mathrm{cm}$；（2）$r=\sqrt{3}\mathrm{cm}$；（3）$r = 2\mathrm{cm}$.

答案：
解析：解题的关键是先找出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行比较.
解：如图②，连接$AD$，过点$D$作$DE\perp AB$于点$E$.$\because AB = AC = 4\mathrm{cm}$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$D$为$BC$的中点，$\therefore AD\perp BC$，$\angle B=\angle C = 30^{\circ}$.$\therefore$在$\mathrm{Rt}\triangle ABD$中，$AD=\frac{1}{2}AB = 2\mathrm{cm}$.$\therefore BD=\sqrt{4^{2}-2^{2}} = 2\sqrt{3}(\mathrm{cm})$.$\because S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}BD· AD$，$\therefore DE=\sqrt{3}\mathrm{cm}$.
拓展
由$d$与$r$的大小关系可直接判断直线和圆的位置关系；反过来，由直线和圆的位置关系，也能推出$d$与$r$的大小关系.

方法规律
1. 要判断直线和圆的位置关系，在已知圆的半径的前提条件下，只要求出圆心到直线的距离即可.对于这类问题，求出圆心到直线的距离是解题的首要任务.
2. 利用等积法可以准确迅速地求出直角三角形斜边上的高，要熟练地掌握这种方法.
（1）$r = 1\mathrm{cm}\lt\sqrt{3}\mathrm{cm}$，此时$AB$与圆相离；
（2）$r=\sqrt{3}\mathrm{cm}=\sqrt{3}\mathrm{cm}$，此时$AB$与圆相切；
（3）$r = 2\mathrm{cm}\gt\sqrt{3}\mathrm{cm}$，此时$AB$与圆相交.