《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

1.已知方程的一个根，求另一个根
典例6(2023.衡阳)已知关于x的方程
x²十mx−20=0的一个根是−4,则它的另
一个根是5.

答案： 解析:方法一:将x=−4代入原方程,得(−4)²−
4m−20=0,解得m=−1.所以原方程为x²−x一
20=0,解得x1=−4,x2=5.所以方程的另一个根
是5.方法二:设x1=−4,则xx2=−20.所以
x2=$\frac{−20}{4}$=5.
答案:5.

2.求一元二次方程中字母系数的值
典例7若关于x的一元二次方程x²−5x十
m=0的两个实数根分别为x1,x2,且3×1一
2×2=5,求实数m的值.

答案： 解析:根据一元二次方程根与系数的关系得到
x1+x2=5,x1×2=m,结合3×1−2×2=5求出
x1的值,从而求出x2的值，然后可得m的值.
解:由一元二次方程根与系数的关系，可知
x1+x2=5,x1×2=m.
∵3×1−2×2=5,
∴3×1−2(5−x1)=5,解得x1=3.
∴x2=
2.
∴m=6.

3.求由方程两根构成的代数式的值
典例8已知m,n是方程3x²−8x+4=0的
两根，请利用根与系数的关系求下列各式
的值:
(1)m²+n²; (2)$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$; (3)$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$.

答案： 解析:首先对所求代数式进行变形，然后将m十
n=$\frac{8}{3}$,mn=$\frac{4}{3}$代入变形后得到的代数式，再求值
即可.
解:
∵m,n是方程3x²−8x+4=0的两根，
∴m+n=$\frac{8}{3}$,mn=$\frac{4}{3}$.
2
(1)m²²+n²²=(m+n)²²−2mn=($\frac{8}{3}$ −2×
$\frac{4}{3}$=$\frac{40}{9}$.
-8
(2)$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=$\frac{m+n}{mn}$ $\frac{3}{4}$=2.
3
4-0
(3)$\frac{m}{n}$+$\frac{n}{m}$=$\frac{m²+n}{mn}$=$\frac{9}{4}$ $\frac{10}{3}$.
-3
方法归纳N
常用的代数式变形方法
(1)x²+x²=(x1+x2)²−2×1×2;
(2)(x1−x2)²=(x1+x2)²−4×1×2;
(3)$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{x2}$=$\frac{x+x2}{x2}$
(4)$\frac{x2}{x}$+$\frac{x}{x2}$=$\frac{x²+x²}{x2}$=(x1+x2)²−2×11×2;
(5)|x1−x2|=$\sqrt{(x−x)²}$=$\sqrt{(x+x)²4xx2}$