《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

例 2 已知$\odot O$的直径$CD = 10\ cm$，$AB$是$\odot O$的弦，$AB = 8\ cm$，且$AB \perp CD$，垂足为$M$，则$AC$的长为()
A.$2\sqrt{5}\ cm$
B.$4\sqrt{5}\ cm$
C.$2\sqrt{5}\ cm$或$4\sqrt{5}\ cm$
D.$2\sqrt{3}\ cm$或$4\sqrt{3}\ cm$

答案：
正确解答：①如图①，当点$M$在$C$，$O$两点之间时，连接$AO$。
$\because CD$为$\odot O$的直径，$AB \perp CD$，
$\therefore OA = \frac{1}{2}CD = 5\ cm$，$AM = \frac{1}{2}AB = 4\ cm$。
在$Rt\triangle AMO$中，由勾股定理，得$OM = \sqrt{OA^{2} - AM^{2}} = 3\ cm$。
$\therefore CM = 5 - 3 = 2(cm)$。
在$Rt\triangle ACM$中，由勾股定理，得$AC = \sqrt{AM^{2} + CM^{2}} = 2\sqrt{5}\ cm$。
②如图②，当点$M$在$D$，$O$两点之间时，连接$AO$。
同理，可得$OM = 3\ cm$，$AM = 4\ cm$。
$\therefore CM = 5 + 3 = 8(cm)$。
在$Rt\triangle ACM$中，由勾股定理，得$AC = \sqrt{AM^{2} + CM^{2}} = 4\sqrt{5}\ cm$。
综上所述，$AC$的长为$2\sqrt{5}\ cm$或$4\sqrt{5}\ cm$。
故选 C.

误区分析
在解本题时易将解答中的两种情况误认为只有一种情况。由于圆是轴对称图形，在解题时一定要考虑全面，注意分类讨论，不能漏解。