《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 14 如图，四边形$ABCD$内接于$\odot O$，且$AD$是$\odot O$的直径，$C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，$AB$和$DC$的延长线交于$\odot O$外一点$E$。求证：$BC = EC$。

答案： 解析：连接$AC$，先根据直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质和等弧所对的圆周角相等，得$\angle EBC = \angle E$，从而根据等角对等边可证$BC = EC$。
证明：如图，连接$AC$。
$\because AD$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACD = 90^{\circ} = \angle ACE$。
$\because$四边形$ABCD$内接于$\odot O$，
$\therefore \angle ABC + \angle D = 180^{\circ}$。
又$\because \angle ABC + \angle EBC = 180^{\circ}$，
$\therefore \angle EBC = \angle D$。
$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD}$。
$\therefore \angle 1 = \angle 2$。
又$\because \angle ACE = \angle ACD = 90^{\circ}$，
即$\angle 1 + \angle E = \angle 2 + \angle D = 90^{\circ}$，
$\therefore \angle E = \angle D$。
$\therefore \angle EBC = \angle E$。
$\therefore BC = EC$。

例 1 判断。
(1)如果两条弦相等，那么它们所对的弧相等，所对的圆心角也相等。()
(2)相等的圆心角所对的弧相等。()
(3)相等的圆周角所对的弧相等。()
(4)平分弦的直径必垂直于弦。()

答案：
正确解答：
(1)×.
(2)×.
(3)×.
(4)×.
误区分析
若认为结论
(1)
(2)
(3)成立，则是忽略了“在同圆或等圆中”这个前提条件而导致错误。如图①，$AB = A_{1}B_{1}$，但$\overset{\frown}{AB} \neq \overset{\frown}{A_{1}B_{1}}$，$\angle AOB \neq \angle A_{1}O_{1}B_{1}$。如图②，$\angle AOB = \angle A'OB'$，但$\overset{\frown}{AB} \neq \overset{\frown}{A'B'}$；$\angle ACB = \angle A'C'B'$，但$\overset{\frown}{AB} \neq \overset{\frown}{A'B'}$。
(4)中被平分的弦不能是直径，如图③，直径$AB$平分弦$CD$($CD$也为直径)，但$AB$不垂直于$CD$。它们都是由于忽略了前提条件而导致错误。