《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 12 如图，$AB$是$\odot O$的直径，弦$CD \perp AB$于点$H$，$\angle A = 30^{\circ}$，$CD = 2\sqrt{3}$，则$\odot O$的半径是2。

答案： 解析：如图，连接$BC$。由圆周角定理的推论和垂径定理，得$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CH = DH = \frac{1}{2}CD = \sqrt{3}$。由含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质，得$AC = 2CH = 2\sqrt{3}$，$AB = 2BC$。设$BC = x$，则$AB = 2x$。在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理，得$AC^{2} + BC^{2} = AB^{2}$，即$(2\sqrt{3})^{2} + x^{2} = (2x)^{2}$，解得$x = 2$(负值舍去)。所以$BC = 2$，$AB = 4$。所以$OA = 2$。
答案：2.

典例 13 如图①，$AB$是$\odot O$的直径，$C$是$\overset{\frown}{AE}$的中点，$CD \perp AB$于点$D$，交$AE$于点$F$，连接$AC$。求证：$AF = CF$。

答案： 解析：方法一：欲证$AF = CF$，只需证出$\angle ACF = \angle CAF$，其中$\angle CAF$是$\overset{\frown}{CE}$所对的圆周角，而由条件知$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{AC}$，因此只需找出$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角与$\angle ACF$相等即可，而构造$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，需要连接$BC$，此时恰好构造了直径$AB$所对的圆周角。
方法二：欲证$AF = CF$，只需证出$\angle ACF = \angle CAF$，因为$\angle CAF$所对的弧是$\overset{\frown}{CE}$，只需找出$\angle ACF$所对的弧与$\overset{\frown}{CE}$相等即可，延长$CD$交$\odot O$于点$H$，利用垂径定理，可得$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AH}$，从而得到$\overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{AH}$。
证明：方法一：如图②，连接$BC$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，
$\therefore \angle ACB = 90^{\circ}$，即$\angle ACF + \angle BCD = 90^{\circ}$。
$\because CD \perp AB$，
$\therefore \angle B + \angle BCD = 90^{\circ}$。
$\therefore \angle B = \angle ACF$。
$\because C$是$\overset{\frown}{AE}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{AC}$。
$\therefore \angle CAF = \angle B$。
$\therefore \angle CAF = \angle ACF$。
$\therefore AF = CF$。
方法二：如图②，延长$CD$交$\odot O$于点$H$。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$CD \perp AB$，
$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{AH}$。
$\because C$是$\overset{\frown}{AE}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CE}$。
$\therefore \overset{\frown}{CE} = \overset{\frown}{AH}$。
$\therefore \angle CAF = \angle ACF$。
$\therefore AF = CF$。