《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 9 如图，$\angle AOB = 90^{\circ}$，$C$，$D$是以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，$AB$分别交$OC$，$OD$于点$E$，$F$，连接$CD$。求证：$AE = BF = CD$。

答案： 解析：连接$AC$，$BD$。由已知可得$AC = CD = DB$，要证$AE = BF = CD$，只需证$AE = AC$，$BF = BD$即可。
证明：如图，连接$AC$，$BD$。
$\because C$，$D$是以点$O$为圆心的$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，
$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DB}$。
$\therefore AC = CD = DB$。
$\because \angle AOB = 90^{\circ}$，$OA = OB$，
$\therefore \angle 1 = \angle 2 = \angle 3 = 30^{\circ}$，$\angle 4 = \angle 5 = 45^{\circ}$。
$\therefore \angle AEC = \angle 1 + \angle 4 = 75^{\circ}$。
在$\triangle AOC$中，$\because OA = OC$，
$\therefore \angle ACO = \frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$。
$\therefore \angle AEC = \angle ACO$。
$\therefore AE = AC$。
同理，可得$BF = BD$。
$\therefore AE = BF = CD$。

典例 10 已知$\odot O$的弦$AB$的长等于圆的半径。求弦$AB$所对的圆周角的度数。

答案：
解析：因为弦$AB$所对的弧有两种情形：劣弧或优弧，所以弦$AB$所对的圆周角也有两种情形，需要分类讨论。
解：①如图①，连接$OA$，$OB$，在优弧$AB$上任取一点$C$，连接$CA$，$CB$。$\because AB = OA = OB$，$\therefore \triangle AOB$为等边三角形。$\therefore \angle AOB = 60^{\circ}$。$\therefore \angle ACB = \frac{1}{2}\angle AOB = 30^{\circ}$。
②如图②，连接$OA$，$OB$，在劣弧$AB$上任取一点$D$，连接$AD$，$OD$，$BD$。$\because \angle BAD = \frac{1}{2}\angle BOD$，$\angle ABD = \frac{1}{2}\angle AOD$。$\therefore \angle BAD + \angle ABD = \frac{1}{2}(\angle BOD + \angle AOD) = \frac{1}{2}\angle AOB$。
$\because AB = OA = OB$，$\therefore \triangle AOB$为等边三角形。$\therefore \angle AOB = 60^{\circ}$。$\therefore \angle BAD + \angle ABD = 30^{\circ}$。$\therefore \angle ADB = 180^{\circ} - (\angle BAD + \angle ABD) = 150^{\circ}$。
综上所述，弦$AB$所对的圆周角的度数为$30^{\circ}$或$150^{\circ}$。

典例 11 如图，在$\odot O$中，$OA \perp BC$，$\angle ADB = 30^{\circ}$，$BC = 2\sqrt{3}$，则$OC$的长为(B)

A.$1$
B.$2$
C.$2\sqrt{3}$
D.$4$

答案： 解析：设$OA$交$BC$于点$H$。因为$OA \perp BC$，所以$BH = CH = \frac{BC}{2} = \sqrt{3}$，且$\overset{\frown}{BA} = \overset{\frown}{CA}$。因为$\angle ADB = 30^{\circ}$，所以$\angle AOC = 2 × 30^{\circ} = 60^{\circ}$。所以$OC = 2OH$。在$Rt\triangle OHC$中，$OH^{2} + CH^{2} = OC^{2}$，即$(\frac{1}{2}OC)^{2} + (\sqrt{3})^{2} = OC^{2}$，解得$OC = 2$(负值舍去)。
答案：B.