《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 7(2023·陕西)陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一。如图②所示为从正面看到的一个“老碗”(如图①)的形状示意图。$\overset{\frown}{AB}$是$\odot O$的一部分，$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，连接$OD$，与弦$AB$交于点$C$，连接$OA$，$OB$。已知$AB = 24\ cm$，碗深$CD = 8\ cm$，则$\odot O$的半径$OA$为(13)

A.$13\ cm$
B.$16\ cm$
C.$17\ cm$
D.$26\ cm$

答案： 解析：因为$D$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$OD \perp AB$，且$OD$平分$AB$。所以$\triangle AOC$为直角三角形，且$AC = \frac{24}{2} = 12(cm)$。在$Rt\triangle AOC$中，设$OA = R\ cm$，则$OC = (R - 8)\ cm$。所以$R^{2} = (R - 8)^{2} + 12^{2}$，解得$R = 13$。所以$\odot O$的半径$OA$为$13\ cm$。
答案：A.

典例 8 如图①，$MN$是$\odot O$的直径，$MN = 4$，点$A$在$\odot O$上，$\angle AMN = 30^{\circ}$，$B$为$\overset{\frown}{AN}$的中点，$P$是直径$MN$上一动点。
（1）利用尺规作图，确定当$PA + PB$最小时点$P$的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求$PA + PB$的最小值。

答案： 解析：（1）作点$A$关于$MN$的对称点$A'$，连接$A'B$，与$MN$的交点即为$P$。（2）由（1）可知，$PA + PB$的最小值即为$A'B$的长，连接$OA'$，$OB$，$OA$，先得出$\angle A'OB = \angle A'ON + \angle BON = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$，再根据勾股定理即可得出答案。
解：（1）如图②，点$P$即为所求作。
（2）由（1）可知，$PA + PB$的最小值即为$A'B$的长。如图②，连接$OA'$，$OB$，$OA$。
$\because A'$为点$A$关于$MN$的对称点，$\angle AMN = 30^{\circ}$，
$\therefore \angle AON = \angle A'ON = 2\angle AMN = 2 × 30^{\circ} = 60^{\circ}$。
又$\because B$为$\overset{\frown}{AN}$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BN}$。
$\therefore \angle BON = \angle AOB = \frac{1}{2}\angle AON = \frac{1}{2} × 60^{\circ} = 30^{\circ}$。
$\therefore \angle A'OB = \angle A'ON + \angle BON = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$。
$\because MN = 4$，
$\therefore OA' = OB = \frac{1}{2}MN = \frac{1}{2} × 4 = 2$。
$\therefore$在$Rt\triangle A'OB$中，$A'B = \sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2\sqrt{2}$，即$PA + PB$的最小值为$2\sqrt{2}$。
方法归纳
圆中求线段和的最小值技巧
求线段和的最小值问题是轴对称的应用之一，解题时应先利用轴对称将已知直线同侧的两点转化成异侧的两点，再连接这两点，则得到的线段与已知直线的交点即为符合条件的点，最后结合几何图形的性质求得最小值。