《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 5 已知$\odot O$的半径为$10\ cm$，$AB$，$CD$是$\odot O$的两条弦，$AB // CD$，$AB = 16\ cm$，$CD = 12\ cm$，求弦$AB$和$CD$之间的距离。

答案：
解析：本题分两种情况进行讨论：①弦$AB$和$CD$在圆心同侧；②弦$AB$和$CD$在圆心异侧。
解：①当弦$AB$和$CD$在圆心同侧时，如图①，连接$OA$，$OC$，过点$O$作$OF \perp CD$于点$F$，交$AB$于点$E$，则易得$OE \perp AB$。
$\because AB = 16\ cm$，$CD = 12\ cm$，
$\therefore AE = 8\ cm$，$CF = 6\ cm$。
$\because OA = OC = 10\ cm$，
$\therefore$在$Rt\triangle OAE$中，$OE = \sqrt{OA^{2} - AE^{2}} = 6\ cm$；在$Rt\triangle OCF$中，$OF = \sqrt{OC^{2} - CF^{2}} = 8\ cm$。$\therefore EF = OF - OE = 2\ cm$。
②当弦$AB$和$CD$在圆心异侧时，如图②，连接$AO$，$CO$，过点$O$作$OF \perp AB$于点$F$，延长$FO$交$CD$于点$E$，则易得$OE \perp CD$。
$\because AB = 16\ cm$，$CD = 12\ cm$，
$\therefore AF = 8\ cm$，$CE = 6\ cm$。
$\because OA = OC = 10\ cm$，
$\therefore$在$Rt\triangle OAF$中，$OF = \sqrt{OA^{2} - AF^{2}} = 6\ cm$；在$Rt\triangle OCE$中，$OE = \sqrt{OC^{2} - CE^{2}} = 8\ cm$。
$\therefore EF = OF + OE = 14\ cm$。
综上所述，弦$AB$和$CD$之间的距离为$14\ cm$或$2\ cm$。

对接教材
本题与教材$P90$习题$24.1$第$10$题相对应，都考查垂径定理的应用，且都没有给出图形。与圆相关的题，题中不给出图形，除考查概念的应用外，还可能要分类讨论，谨防漏解。

典例 6 如图，在平面直角坐标系中，$\odot P$的圆心坐标是$(3,a)(a ＞ 3)$，半径为$3$，函数$y = x$的图象被$\odot P$截得的弦$AB$的长为$4\sqrt{2}$，则$a$的值为$3 + \sqrt{2}$。

答案： 解析：如图，过点$P$作$PC \perp x$轴于点$C$，交$AB$于点$D$，作$PE \perp AB$于点$E$，连接$PB$。因为$\odot P$的圆心坐标是$(3,a)$，所以$OC = 3$，$PC = a$。把$x = 3$代入$y = x$，得$y = 3$，所以点$D$的坐标为$(3,3)$。所以$CD = 3$。所以$CD = OC$。所以$\triangle OCD$为等腰直角三角形。所以易得$\triangle PED$也为等腰直角三角形。因为$PE \perp AB$，所以$AE = BE = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$。在$Rt\triangle PBE$中，$PB = 3$，所以$PE = \sqrt{3^{2} - (2\sqrt{2})^{2}} = 1$。所以$PD = \sqrt{2}$。所以$a = 3 + \sqrt{2}$。
答案：$3 + \sqrt{2}$。