《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 3 如图，在半径为$\sqrt{13}$的$\odot O$中，弦$AB$与$CD$交于点$E$，$\angle DEB = 75^{\circ}$，$AB = 6$，$AE = 1$，则$CD$的长是(C)

A.$2\sqrt{6}$
B.$2\sqrt{10}$
C.$2\sqrt{11}$
D.$4\sqrt{3}$

答案： 解析：如图，过点$O$作$OF \perp CD$于点$F$，作$OG \perp AB$于点$G$，连接$OB$，$OD$，$OE$。由垂径定理，得$DF = CF$，$AG = BG = \frac{1}{2}AB = 3$，所以$EG = AG - AE = 2$。由勾股定理，得$OG = \sqrt{OB^{2} - BG^{2}} = 2$，证出$\triangle EOG$是等腰直角三角形，得$\angle OEG = 45^{\circ}$，$OE = 2\sqrt{2}$，求出$\angle OEF = 30^{\circ}$。由含$30^{\circ}$角的直角三角形的性质，得$OF = \frac{1}{2}OE = \sqrt{2}$。由勾股定理，得$DF = \sqrt{11}$，则$CD = 2DF = 2\sqrt{11}$。
答案：C.

典例 4 已知$\odot O$的半径为$2$，弦$AB$的长为$2\sqrt{3}$，点$C$在$\odot O$上，且点$C$不与点$A$，$B$重合。求$\angle C$的度数。

答案：
解析：由于点$C$的位置不能确定，故应分点$C$在优弧$AB$上和在劣弧$AB$上两种情况讨论。
解：①当点$C$在$\overset{\frown}{ACB}$上时，
如图①，连接$OA$，$OB$，过点$O$作$OH \perp AB$于点$H$，延长$OH$交$\odot O$于点$D$，连接$AD$。
由垂径定理，得$AH = BH = \frac{1}{2}AB = \sqrt{3}$，$\angle AOH = \angle BOH = \frac{1}{2}\angle AOB$。
$\because$在$Rt\triangle AOH$中，$OA = 2$，
$\therefore OH = \sqrt{2^{2} - (\sqrt{3})^{2}} = 1$。
$\because OD = 2$，
$\therefore OH = DH = 1$。
$\therefore AD = AO = OD$。
$\therefore \triangle AOD$是等边三角形。
$\therefore \angle AOH = 60^{\circ}$。
$\therefore \angle AOB = 120^{\circ}$。
$\therefore \angle C = \frac{1}{2}\angle AOB = 60^{\circ}$。
②当点$C$在$\overset{\frown}{AB}$上时，
如图②，作与$AB$垂直的直径$MN$，连接$OA$，$OB$，$AM$，$BM$，$AN$，$BN$，则$\angle NAM = \angle NBM = 90^{\circ}$。
由（1），得$\angle ANB = 60^{\circ}$，
$\therefore \angle AMB = 360^{\circ} - 2 × 90^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$。
$\therefore \angle C = \angle AMB = 120^{\circ}$。
综上所述，$\angle C$的度数为$60^{\circ}$或$120^{\circ}$。