《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

如图①，$ O $ 为线段 $ BC $ 的中点，点 $ A $，$ C $，$ D $ 到点 $ O $ 的距离相等。若 $ \angle B = 40^{\circ} $，则 $ \angle D $ 的度数是(B)

A.$ 130^{\circ} $
B.$ 140^{\circ} $
C.$ 150^{\circ} $
D.$ 160^{\circ} $

答案： 解析：由题意，得 $ A $，$ B $，$ C $，$ D $ 四点共圆，作出 $ \odot O $(如图②)，所以四边形 $ ABCD $ 为 $ \odot O $ 的内接四边形。所以 $ \angle B + \angle D = 180^{\circ} $。因为 $ \angle B = 40^{\circ} $，所以 $ \angle D = 140^{\circ} $。
答案：B.

典例 1(抚顺中考改编)如图①，在$\odot O$中，弦$CD$与直径$AB$相交于点$E$，连接$OC$，$BD$。若$\angle B = 20^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$，则$\angle D$的度数为(60°)

A.$30^{\circ}$
B.$40^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$80^{\circ}$

答案： 解析：如图②，连接$OD$。因为$OD = OB = OC$，所以$\angle B = \angle ODB$，$\angle C = \angle ODC$。又因为$\angle B = 20^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$，所以$\angle ODB = 20^{\circ}$，$\angle ODC = 40^{\circ}$。所以$\angle BDC = \angle ODB + \angle ODC = 20^{\circ} + 40^{\circ} = 60^{\circ}$。
答案：C.

典例 2 如图，$A$，$B$，$C$是$\odot O$上的三个点，$BO$平分$\angle ABC$。求证：$AB = CB$。

答案： 解析：连接$OA$，$OC$。利用半径都相等得到$OA = OB = OC$，从而可得$\angle ABO = \angle BAO$，$\angle CBO = \angle BCO$。由$BO$平分$\angle ABC$，得$\angle ABO = \angle CBO$。根据三角形全等的判定得到$\triangle OAB \cong \triangle OCB$，即可得到结论。
证明：如图，连接$OA$，$OC$。
$\because$点$A$，$B$，$C$在$\odot O$上，
$\therefore OA = OB = OC$。
$\therefore \angle ABO = \angle BAO$，$\angle CBO = \angle BCO$。
$\because BO$平分$\angle ABC$，
$\therefore \angle ABO = \angle CBO$。
$\therefore \angle BAO = \angle BCO$。
$\therefore \triangle OAB \cong \triangle OCB$。
$\therefore AB = CB$。