《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

如图①，$ CD $ 为 $ \odot O $ 的直径，弦 $ AB \perp CD $，垂足为 $ E $，$ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BF} $，$ CE = 1 $，$ AB = 6 $，则弦 $ AF $ 的长为$\frac{48}{5}$。

答案： 解析：如图②，连接 $ OA $，$ OB $，$ OB $ 交 $ AF $ 于点 $ G $。因为 $ CD $ 为 $ \odot O $ 的直径，$ AB \perp CD $，$ AB = 6 $，所以 $ AE = BE = \frac{1}{2}AB = 3 $。设 $ \odot O $ 的半径为 $ r $，则 $ OE = r - 1 $，$ OA = r $。在 $ Rt \triangle OAE $ 中，由勾股定理，得 $ 3^2 + (r - 1)^2 = r^2 $，解得 $ r = 5 $。因为 $ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BF} $，所以 $ OB \perp AF $，$ AG = FG $。在 $ Rt \triangle OAG $ 中，由勾股定理，得 $ AG^2 = 5^2 - OG^2 $；在 $ Rt \triangle ABG $ 中，由勾股定理，得 $ AG^2 = 6^2 - (5 - OG)^2 $。所以 $ 25 - OG^2 = 36 - (5 - OG)^2 $。所以 $ OG = \frac{7}{5} $。所以 $ AG = \frac{24}{5} $。所以 $ AF = 2AG = \frac{48}{5} $。
答案：$ \frac{48}{5} $。