《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例1选择适当的方法解下列方程:
(1)(x−2)²−10=0;
(2)x²−4x+2=0;
(3)(2x−3)²=6−4x;
(4)9(x−1)²−16(x+2)²=0;
(5)(2x−1)(x−2)=1.

答案： 解析:
(1)因为方程很容易转化成(x−2)²=10,所
以用直接开平方法求解.
(2)此方程的二次项系数
为1，一次项系数是偶数，可考虑用配方法求解.
(3)发现方程左、右两边可提取公因式2x−3,故
用因式分解法求解.
(4)此方程符合a²−b²=0的
形式，可以用因式分解法求解;还可以转化为a²=
b2的形式，用直接开平方法求解.
(5)化成一元二
次方程的一般形式，得到2x²−5x+1=0,选用公
式法求解.
解:
(1)
∵(x−2)²−10=0,
∴(x−2)²=10.
∴x−2=±√10.
∴x1=2+√10,x2=2−√10.
(2)移项,得x²−4x=−2.配方,得x²−
4x+4=−2+4,即(x−2)²=2.
∴x−2=
±√2.
∴x1=2+√2,x2=2−√2.
(3)移项,得(2x−3)²+2(2x−3)=0.因式
分解,得(2x−3)(2x−3+2)=0.
∴2x−
3=0或2x−1=0.
∴x1=$\frac{3}{2}$,x2=$\frac{1}{2}$.
(4)方法1:原方程可化为[3(x−1)]2一
[4(x+2)]]²=0,
∴[3(x−1)+4(x+
2)][3(x−1)−4(x+2)]=0,即(7x+5)(−x−
11)=0.
∴7x+5=0或−x−11=0.
∴x1=−$\frac{5}{7}$,x2=−11.
方法2:
∵9(x−1)²−16(x+2)²2=0,
∴9(x−1)²=16(x+2)².两边直接开平方，
得3(x−1)=±4(x+2).
∴3x−3=4x+8
或3x−3=−4x−8.
∴x1=−11,x2=−$\frac{5}{7}$.
(5)原方程可化为2x²−5x+1=0.
∵a=2,
b=−5,c=1,
∴△=b²−4ac=(−5)²−4×
2×1=17＞0.
∴x=$\frac{5±√17}{2×2}$.
∴x1=
$\frac{5+√17}{4}$,x2=$\frac{5−√17}{4}$.

1.利用配方法求代数式的最值
典例2求−3x²−6x+5的最大值.

答案： 解析:运用配方法把式子化为完全平方的形式，根
据偶次方的非负性解答.
解:−3x²−6x+5=−3(x²+2x+1−1)+
5=−3(x+1)²+8.
∵(x+1)²≥0,
∴−3.
(x+1)²≤0.
∴−3(x+1)²+8≤8.
∴−3x²−6x+5的最大值是8.