《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

例3如图①,P是等边三角形ABC内的一
点，∠APB,∠BPC,∠CPA的度数之比为
5:6:7.你能利用旋转的知识确定以PA，
PB，PC为边的三角形三个内角的度数吗？

答案：
解析:要求以PA,PB,PC为边的三角形的三个内
角的度数，但PA,PB，PC不在同一个三角形中，
故考虑将这三边转化到同一个三角形中.由于
△ABC是等边三角形，可考虑把△PBA绕点B按
顺时针方向旋转60°到△DBC的位置，可知PB=
BD,PA=CD.连接DP,易得△PBD是等边三角
形，则以PB,PA，PC为边的三角形转化为
△PDC，然后根据已知条件求△PDC各内角的度
数即可.
解:如图②,把△ABP绕点B按顺时针方向
旋转60°得到△CBD,连接DP,则△ABP≌
△CBD.
∴PB=DB,PA=DC,∠ABP=∠CBD,
∠APB=∠CDB.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PBD=∠PBC+∠CBD=∠PBC+
∠ABP=∠ABC=60°.
∵PB=BD,
∴△PBD是等边三角形.
∴DP=BP,∠BPD=∠BDP=60°.
∴△PCD的三边分别与PA，PB,PC
相等.
又
∵∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7,
∴易得∠APB=100°,∠BPC=120°,
∠CPA=140°.
∴∠DPC=∠BPC−∠BPD=60°,∠PDC=
∠CDB−∠BDP=∠APB−∠BDP=40°.
∴∠DCP=180°−∠DPC−∠PDC=80°.
∴以PA,PB,PC为边的三角形三个内角
的度数分别为60°,40°,80°.