《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例10(2022.苏州)如图①,点A的坐标
为(0,2),B是x轴正半轴上的一点,将线段
AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段
AC.若点C的坐标为(m,3),则m的值为
()

A.$\frac{4√3}{3}$
B.$\frac{2√21}{3}$
C.$\frac{5√3}{3}$
D.$\frac{4√21}{3}$

答案：
解析:如图②,过点C作CD⊥x轴于点D,CE⊥
y轴于点E.因为CD⊥x轴,CE⊥y轴,所以
∠CDO=∠CEO=∠DOE=90°.所以四边形
EODC是矩形.因为将线段AB绕点A按逆时针
方向旋转60°得到线段AC，所以AB=AC，
∠BAC=60°.所以△ABC是等边三角形.所以
AB=AC=BC.因为A(0,2),C(m,3),所以易得
CE=m=OD,CD=OE=3,OA=2.所以AE=
OE−OA=1.所以AC=√AE²+CE泛=
√1+m²=BC=AB.在Rt△BCD中,BD=
√BC²−CD²=√m²−8,在Rt△AOB中,OB=
√AB²−OA²=√m²−3.因为OB+BD=OD=
m,所以√m²−3+√m²−8=m,化简变形，得
3m4−22m²−25=0,解得m=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$或m=
−$\frac{5√3}{3}$(不合题意，舍去).所以m=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

答案:C.

典例11(2021.扬州)如图①,一次函数y=
x十√2的图象与x轴、y轴分别交于点A,
B,把直线AB绕点B按顺时针方向旋转30°
交x轴于点C,则线段AC的长为 (A)

A.√6+√2
B.3√2
C.2+√3
D.√3+√2

答案： 解析:因为直线AB对应的函数解析式为y=x十
√2,所以易得∠BAO=∠OBA=45°,OB=OA=
√2.所以AB=√OA²+OB²=√2+2=2.如图②,
过点C作CD⊥BA,交BA的延长线于点D.因为
∠CAD=∠BAO=45°,所以△ADC是等腰直角
三角形.设CD=AD=x,则AC=√x²+x²=
√2x.因为∠ABC=30°,所以BC=2CD=2x，
BD=√(2x)²−x²=√3x.因为BD=AB+AD=
2+x,所以2+x=√3x,解得x=√3+1.所以
AC=√2×(3+1)=√6+√2.
答案:A.