《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例5(2023.梁溪二模)如
图①,在Rt△ABC 中，

∠ABC=30°,AC=1,D,E
分别是边AC,AB上的动
点，将DE绕点D按逆时针方向旋转60°,使
点E落在边BC上的点F处,连接EF，则
EF长的最小值是 ()
A.$\frac{\sqrt{21}}{7}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{7}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{5}$
D.1

答案：
解析:如图②，根据题意，可知△DEF为等边三角
形.因为∠1+∠2+∠C=∠2+∠DFE+∠3=
180°,∠C=∠DFE=60°,所以∠1=∠3.在BC上
取点P,使∠EPF=60°,所以∠PEB=30°.所以
∠C=∠EPF=60°,
PE=PB.在△CDF和△PFE中，∠1=∠3,
DF=FE,
{
所以△CDF≌△PFE.所以CD=PF,CF=PE.
设PE=x,所以CF=x,PB=x.所以PF=2一
2x.所以CD=PF=2−2x.所以AD=2x−1.易
得BE=$\sqrt{3}$x,AB=$\sqrt{3}$,所以AE=$\sqrt{3}$−$\sqrt{3}$x.所以
EF²=DE²=AD²+AE²=(2x−1)²+3(1−
x)²=7x²−10x+4=7(x−$\frac{5}{7}$)²+$\frac{3}{7}$.所以
EF²的最小值为$\frac{3}{7}$.所以EF长的最小值是$\frac{\sqrt{21}}{7}$.

答案:A.

典例6(2023.滨湖二模)数学世界奇妙无
穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下
列数学曲线是中心对称图形的为 (C)

答案： 解析:选项A,B,D都不能找到这样的一个点，使图
形绕该点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是
中心对称图形.选项C能找到这样的一个点，使图
形绕该点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中
心对称图形.
答案:C.