《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例4(2023.崇川三模)如图①,在边长为
a的等边三角形ABC中,BF是AC上的中
线，D是线段BF上的动点，连接AD,在AD
的右侧作等边三角形ADE，连接BE，则
AE十BE的最小值是 ()

A.($\sqrt{3}$+1)a
B.3a−1
C.$\sqrt{5}$a
D.$\sqrt{3}$a

答案：
解析:如图②,连接CE.因为△ABC,△ADE都是
等边三角形，所以AB=AC=a,AD=AE，
∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°.所以∠BAD=
∠CAE.所以△BAD≌△CAE.所以∠ABD=
∠ACE.因为BF是△ABC的中线,AB=BC,所
以AF=CF=$\frac{1}{2}$a,∠ABD=∠CBD=∠ACE=
30°,BF⊥AC.所以BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a.所以点E在射线
CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M,连
接FM,EM,CM,则AE=ME.因为由对称可得
CA=CM,∠ACVI=2∠ACE=60°,所以△ACM
是等边三角形.因为易知F是AC的中点，所以
∠AFM=90°,AM=AC=a.所以∠AFB+
∠AFM=180°.所以B,F，M=点共线.所以
AE+BE=ME+BE≥BM=$\sqrt{3}$a.

答案:D.