《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例3(2022.南通)如图①,在矩形ABCD
中,AB=4,AD=3,点E在折线BCD上运
动，将AE绕点A按顺时针方向旋转得到
AF,旋转角等于∠BAC,连接CF,DF.过点
F作FM⊥AC,垂足为M.
(1)当点E在BC上时,求证:AB=AM;
(2)当AE=3$\sqrt{2}$时，求CF的长;
(3)点E从点B运动到点D的过程中,试探
究DF长的最小值.

答案：
解析:
(1)由矩形的性质可以推出∠B=∠AMF=
90°,由旋转的性质得AE=AF,∠BAC=∠EAF，
推出∠EAB=∠FAM,可证明△ABE≌△AMF,
即可证明AB=AM.
(2)分两种情况讨论:如图
①,当点E在边BC上时，在△FCM中运用勾股定
理求解即可;如图②，当点E在边CD上时，可证明
∠FAM=45°,求得FM=AM=3,在Rt△FCM
中运用勾股定理求解即可.
(3)分两种情况讨论:
当点E在边BC上时，如图③,AM的长始终等于
4,则点F始终在直线FM上运动，当DF⊥FM
时,DF的长最小;当点E在CD上时,如图④,过
点E作EG⊥AB于点G,可证明△AFM≌
△AEG,得出FM=3,所以点F在一条与AC平行
且到AC的距离为3的直线上.当FM过点D时，
DF的长最小.分别求出DF长的最小值比较
即可.
解:
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°.
∴:易得∠B=∠AMF=90°.
由旋转,得AE=AF,∠BAC=∠EAF,
∴易得∠EAB=∠FAM.
∴△ABE≌△AMF.
∴AB=AM.
(2)分两种情况:①如图①,当点E在边BC
上时，
∵AE=3$\sqrt{2}$,AB=4,∠B=90°,
∴BE=$\sqrt{2}$二
在Rt△ABC中,AC=$\sqrt{AB²+BC²}$=5.
∵△ABE≌△AMF,
∴AM=AB=4,FM=BE=$\sqrt{2}$
∴CM=1.
在Rt△FCM中,CF=$\sqrt{FM²+CM²}$=$\sqrt{3}$
②如图②,当点E在边CD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°,AD//BC.
∵AE=3$\sqrt{2}$,AD=3,∠ADC=90°,
∴DE=3,∠DAE=45°.
∴∠BAE=45°.
∴:易得∠FAM=45°.
∵AF=AE=3$\sqrt{2}$,
∴易得FM=AM=3.
∴CM=2.
在Rt△FCM中,CF=$\sqrt{MF²+CM²}$=$\sqrt{13}$
综上所述,CF的长为$\sqrt{3}$或$\sqrt{13}$
(3)①如图③,当点E在边BC上时,AM=
AB=4为定值，直线FM的位置恒定，则点F
始终在直线FM上运动，过点D作DN⊥
AC于点N.
在△ADC中,易得DN=$\frac{AD.CD}{AC}$=$\frac{12}{5}$,
∴AN=$\sqrt{AD²−DN²}$=$\frac{9}{5}$.
∴MN=$\frac{11}{5}$.
∴，当DF⊥FM时,DF的长最小,此时易得
DF=MN=$\frac{11}{5}$.
②如图④,当点E在边CD上时,过点E作
EG⊥AB于点G,则易得EG=AD=3.
∵∠BAC=∠EAF,
∴易得∠BAE=∠CAF.
又
∵∠AGE=∠AMF=90°,AE=AF,
∴△AEG≌△AFM.
∴EG=FM=3.
∴点F在一条与AC平行且到AC的距离
为3的直线上.
当FM过点D时,DF的长最小,此时DF
的长为3−$\frac{12}{5}$=$\frac{3}{5}$.
∵$\frac{3}{5}$＜$\frac{11}{5}$,
∴DF长的最小值为$\frac{3}{5}$.