《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例1(2023.无锡)如图,在△ABC中，
∠BAC=55°,将△ABC按逆时针方向旋转
α(0°＜α＜55°),得到△ADE,DE交AC于
点F.当α=40°时,点D恰好落在BC上,此
时∠AFE的度数为 (85°)

A.80°
B.85°
C.90°
D.95°

答案： 解析:因为将△ABC按逆时针方向旋转α(0°＜α＜
55°)，得到△ADE，所以∠BAC=∠DAE，
∠BAD=∠CAE=40°,AB=AD,∠C=∠E.所
以∠B=70°.所以∠C=∠E=55°.所以∠AFE=
180°−55°−40°=85°.
答案:B.

典例2(2023.泰州)菱形ABCD的边长为
2,∠A=60°,将该菱形绕顶点A在平面内旋
转30°,则旋转后的图形与原图形重叠部分
的面积为 ()
A.3−$\sqrt{3}$
B.2−$\sqrt{3}$
C.$\sqrt{3}$−1
D.2$\sqrt{3}$−2

答案：
解析:①如图，将该菱形绕顶点A在平面内按顺时
针方向旋转30°,连接AC，BD相交于点O,BC与
C'D'交于点E.因为四边形ABCD是菱形，
∠DAB=60°,所以∠CAB=30°=∠CAD,AC⊥
BD,AO=CO,BO=DO.因为AB=2,所以BO=
1.所以AO=$\sqrt{3}$.所以AC=2$\sqrt{3}$.因为菱形ABCD
绕点A按顺时针方向旋转30°得到菱形AB'C'D',
所以∠D'AB=30°,AD=ADy=2.所以A,D',C
=点共线.所以CD'=CA−AD'=2$\sqrt{3}$−2.因为易
得∠AD'C'=120°,所以∠CD'E=60.又因为易得
∠ACB=30°,所以∠CED'=90°.所以D'E=
$\frac{1}{2}$CD'=$\sqrt{3}$−1.所以易得CE=3−$\sqrt{3}$.因为重叠
部分的面积=△ABC的面积一△D'EC的面积，
所以重叠部分的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1−$\frac{1}{2}$×($\sqrt{3}$−
1)×(3−$\sqrt{3}$)=3−$\sqrt{3}$.②将该菱形绕顶点A在平
面内按逆时针方向旋转30°,同①中方法可得重叠
部分的面积=3| $\sqrt{3}$

答案:A.