《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 1（湖州中考改编）如图，三姐妹为了平分一块边长为 1 的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（涂色部分）。
（1）简述大正方形变成小正方形的变换方法；
（2）求点 A，B 之间的距离。

答案： 解析：先根据题意求出涂色部分中小正方形的边长，再把问题归纳到直角三角形中，利用勾股定理求解。
解：（1）将大正方形分成七块后，分别将①～⑥块平移到图中涂色部分相应的位置，即可得三个小正方形。
（2）如图，连接 AB，根据变换方法，△AMN 为直角三角形。
∵ $ S_{大正方形}=1×1=1 $，
∴ $ 3S_{小正方形}=1 $。
∴ $ S_{小正方形}=\frac{1}{3} $。
∴ 小正方形的边长为 $ \sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3} $。
∴ $ MN=3×\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3} $。
∴ $ AN^{2}=MN^{2}-AM^{2}=(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=2 $。
∴ $ AN=\sqrt{2} $。
观察①和②整体平移的方法，可知 $ BN=PM=1 $，
∴ $ AB=AN-BN=\sqrt{2}-1 $。
∴ 点 A，B 之间的距离为 $ \sqrt{2}-1 $。

典例 2 现有如图①所示的 6 种瓷砖，请用其中的 4 块瓷砖（允许有相同的）设计出美丽的图案，然后利用你设计的图案，通过平移、轴对称或旋转变换，设计出更加美丽的大型图案。

答案：
解析：可将硬纸板制作成 6 种图形各若干块，然后选取 4 块进行拼接，选取你认为美丽的图案作为基本图案，再把基本图案进行平移、旋转或轴对称就可得到更加美丽的大型图案。
解：答案不唯一，如图②所示的基本图案。通过平移得到图③，通过轴对称得到图④。