《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

1. 用于计算面积
典例 3 如图,D 是 $\triangle ABC$ 的边 BC 的中点,连接 AD 并延长到点 E,使 $DE = AD$,连接 BE.
(1) 图中哪两个图形成中心对称?
(2) 若 $\triangle ADC$ 的面积为 4,求 $\triangle ABE$ 的面积.

答案： 解析:
(1) 因为 D 是边 BC 的中点,所以 $DB = DC$. 又因为 $DE = AD$,根据中心对称的性质,可知点 B,C 与点 E,A 均关于点 D 对称,所以图中 $\triangle EDB$ 和 $\triangle ADC$ 成中心对称.
(2) 由 D 是 BC 的中点,可知 $S_{\triangle ADB} = S_{\triangle ADC}$. 由 $DE = AD$,可知 $S_{\triangle EDB} = S_{\triangle ADB}$,则 $S_{\triangle ADB} = S_{\triangle EDB} = S_{\triangle ADC}$. 由此可求得 $\triangle ABE$ 的面积.
解:
(1) 图中 $\triangle EDB$ 和 $\triangle ADC$ 成中心对称.
(2)
∵ D 是 BC 的中点,
∴ $S_{\triangle ADB} = S_{\triangle ADC}$.
同理可得 $S_{\triangle EDB} = S_{\triangle ADB}$.
∴ $S_{\triangle ADB} = S_{\triangle EDB} = S_{\triangle ADC} = 4$.
∴ $S_{\triangle ABE} = S_{\triangle EDB} + S_{\triangle ADB} = 4 + 4 = 8$.

2. 用于求线段长度
典例 4 如图①,在 $\triangle ABC$ 中, $AB = 5$, $AC = 13$,边 BC 上的中线 $AD = 6$. 求 BC 的长.

答案：
解析:将 $\triangle ABD$ 绕点 D 旋转 $180^{\circ}$ 得到 $\triangle ECD$,从而 $AE = 2AD = 12$. 由勾股定理的逆定理可判定 $\angle E = 90^{\circ}$,最后利用勾股定理解决问题.
解:
∵ D 是 BC 的中点,
∴ $BD = CD$.
如图②,将 $\triangle ABD$ 绕点 D 旋转 $180^{\circ}$ 得到 $\triangle ECD$,
∴ $AE = 2AD = 12$, $CE = BA = 5$.
在 $\triangle ACE$ 中, $AC = 13$,
∴ $CE^2 + AE^2 = 169 = AC^2$.
∴ $\angle E = 90^{\circ}$.
∴ $CD = \sqrt{DE^2 + CE^2} = \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61}$.
∴ $BC = 2CD = 2\sqrt{61}$.

3. 用于证明线段相等
典例 5 如图,AC 与 BD 交于点 O,连接 AB,CD, $AB = CD$, $AB // CD$,点 E,F 在线段 AC 上,且 $AF = CE$,M 是 DF 上的动点,连接 MO 并延长,交 BE 于点 N. 请运用中心对称的性质,求证: $MO = NO$.

答案：
解析:要证 $MO = NO$,可证点 M 与点 N 关于点 O 成中心对称. 由于 M 是 DF 上的动点,N 是 MO 与 BE 的交点,故可证 DF 与 BE 关于点 O 成中心对称.
证明:
∵ $AB // CD$,
∴ $\angle A = \angle C$, $\angle ABO = \angle CDO$. 又
∵ $AB = CD$,
∴ $\triangle ABO \cong \triangle CDO$.
∴ $OA = OC$, $OB = OD$.
∴ 点 B 与点 D 关于点 O 成中心对称.
∵ $AF = CE$,
∴ $OA - AF = OC - CE$,即 $OF = OE$.
∴ 点 E 与点 F 关于点 O 成中心对称.
∴ DF 与 BE 关于点 O 成中心对称.
∵ 点 M,N 分别在 DF,BE 上,MN 经过点 O,
∴ 点 M 与点 N 关于点 O 成中心对称.
∴ $MO = NO$.