《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 1 (2023·威海改编)我国民间建筑装饰图案中,蕴含着丰富的数学之美. 下列图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的为(A)

答案： 解析:选项 A 是轴对称图形,也是中心对称图形;选项 B 是中心对称图形,但不是轴对称图形;选项 C 是轴对称图形,但不是中心对称图形;选项 D 是轴对称图形,但不是中心对称图形,故只有选项 A 满足题意.
答案:A.

典例 2 如图,正方形 ABCD 与正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 关于某点中心对称. 已知 A, $D_1$,D 三点的坐标分别是 $(0,4)$, $(0,3)$, $(0,2)$.
(1) 求对称中心的坐标;
(2) 写出顶点 B,C, $B_1$, $C_1$ 的坐标.

答案： 解析:
(1) 先由对称中心是对应点连线的中点,确定对称中心,然后求出它的坐标.
(2) 根据正方形相关的知识及在平面直角坐标系内的平移坐标变换关系可求得顶点 B,C, $B_1$, $C_1$ 的坐标.
解:
(1)
∵ D, $D_1$ 是对应点,
∴ 对称中心是线段 $DD_1$ 的中点,设为点 M.
∵ 点 D, $D_1$ 的坐标分别是 $(0,2)$, $(0,3)$,
∴ $OD = 2$, $OD_1 = 3$.
∴ $DD_1 = 3 - 2 = 1$.
∴ $DM = \frac{1}{2}$.
∴ $OM = OD + DM = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
∴ 对称中心的坐标是 $(0,\frac{5}{2})$.
(2)
∵ A,D 两点的坐标分别是 $(0,4)$, $(0,2)$,
∴ 正方形 ABCD 的边长 $AD = 4 - 2 = 2$.
∵ 将点 A,D 分别向左平移 2 个单位长度可得点 B,C,
∴ 点 B,C 的坐标分别是 $(-2,4)$, $(-2,2)$.
∵ 正方形 ABCD 与正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 关于点 $(0,\frac{5}{2})$ 中心对称,
∴ 正方形 $A_1B_1C_1D_1$ 的边长为 2.
∵ 将点 $D_1$ 向右平移 2 个单位长度可得点 $C_1$,
∴ 点 $C_1$ 的坐标是 $(2,3)$.
∵ 将点 $C_1$ 向下平移 2 个单位长度可得点 $B_1$,
∴ 点 $B_1$ 的坐标是 $(2,1)$.