《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

2. 以等腰直角三角形为背景的旋转
典例 11 如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，$P$是$\triangle ABC$内一点，且$PA = 3$，$PC = 2$，$PB = 1$.
（1）作出$\triangle ACP$绕点$C$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$所得的图形；
（2）求$\angle BPC$的度数.

答案：
解析：（1）由于$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，则$\triangle ACP$绕点$C$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到的点$A$的对应点为$B$，点$C$的对应点为$C$，只要作$CD\perp CP$，$CD = CP$，$D$即为点$P$的对应点. （2）根据旋转的性质得到$CP = CD = 2$，$\angle DCP = 90^{\circ}$，$DB = PA = 3$，则$\triangle CPD$为等腰直角三角形. 由勾股定理易得$PD = 2\sqrt{2}$，利用等腰直角三角形的性质得$\angle CPD = 45^{\circ}$. 在$\triangle PDB$中，$PB = 1$，$PD = 2\sqrt{2}$，$DB = 3$，易得$PB^{2}+PD^{2} = BD^{2}$. 根据勾股定理的逆定理得到$\triangle PBD$为直角三角形，即可得到$\angle BPC$的度数.
解：（1）如图②，$\triangle BCD$即为所求作.
（2）如图②，连接$DP$. $\because\triangle ACP$绕点$C$按逆时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle BCD$，$\therefore CP = CD = 2$，$\angle DCP = 90^{\circ}$，$DB = PA = 3$. $\therefore\triangle CPD$为等腰直角三角形. $\therefore$易得$PD = 2\sqrt{2}$，$\angle CPD = 45^{\circ}$. 在$\triangle PDB$中，$PB = 1$，$PD = 2\sqrt{2}$，$DB = 3$，而$1^{2}+(2\sqrt{2})^{2} = 3^{2}$，$\therefore PB^{2}+PD^{2} = BD^{2}$. $\therefore\triangle PBD$为直角三角形. $\therefore\angle DPB = 90^{\circ}$. $\therefore\angle BPC = \angle CPD+\angle DPB = 45^{\circ}+90^{\circ} = 135^{\circ}$.