《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

典例 9 如图①，在平面直角坐标系中，将点$P(2,3)$绕原点$O$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到点$P'$，则点$P'$的坐标为()

A.$(3,2)$
B.$(3,-1)$
C.$(2,-3)$
D.$(3,-2)$

答案：
解析：如图②，过点$P$作$PQ\perp y$轴于点$Q$. 因为$P(2,3)$，所以$PQ = 2$，$OQ = 3$. 因为将点$P(2,3)$绕原点$O$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到点$P'$，相当于将$\triangle OPQ$绕原点$O$按顺时针方向旋转$90^{\circ}$得到$\triangle OP'Q'$，所以$\angle P'Q'O = 90^{\circ}$，$P'Q' = PQ = 2$，$OQ' = OQ = 3$. 所以点$P'$的坐标为$(3,-2)$.

答案：D.
对接教材
本题与教材P63习题23.1第11题相对应，都考查了坐标与图形变换——旋转，熟记旋转的性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的重要方法.

1. 以等边三角形为背景的旋转
典例 10 如图，等边三角形$ABC$内有一点$O$，且$OA = 4$，$OB = 3$，$OC = 5$. 求$\angle AOB$的度数.

答案： 解析：三条线段的长分别为$3$，$4$，$5$，让我们联想到勾股数，但图中的三条线段不是同一个三角形的三边，因此考虑移动三条线段，使它们集中为一个三角形的三边. 而这样的“移动”可通过旋转来实现，即把$\triangle BOA$绕点$B$按顺时针方向旋转$60^{\circ}$得到$\triangle BPC$. 我们发现$OA = PC$，$OP = BP = OB$，$OC$不动，这样就把三条线段集中为$\triangle OPC$的三条边.
解：如图，把$\triangle BOA$绕点$B$按顺时针方向旋转$60^{\circ}$，得到$\triangle BPC$，连接$OP$.
由旋转的性质，得$PC = OA$，$BP = OB$，$\angle OBP = 60^{\circ}$. $\therefore\triangle OBP$为等边三角形. $\therefore OP = OB = 3$，$\angle OPB = 60^{\circ}$. 又$\because PC = OA = 4$，$OC = 5$，$\therefore OP^{2}+PC^{2} = 3^{2}+4^{2} = 25$，$OC^{2} = 5^{2} = 25$. $\therefore OP^{2}+PC^{2} = OC^{2}$. $\therefore\angle OPC = 90^{\circ}$. $\because\angle OPB = 60^{\circ}$，$\therefore\angle CPB = 60^{\circ}+90^{\circ} = 150^{\circ}$. $\because\triangle BOA$绕点$B$旋转得到$\triangle BPC$，$\therefore\angle AOB = \angle CPB = 150^{\circ}$.