《2025年通城学典非常课课通九年级数学上册人教版江苏专版》

5. 利用旋转的性质解综合题
典例 6 如图①，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = \alpha$（$0^{\circ}\lt\alpha\lt60^{\circ}$），将线段$BC$绕点$B$按逆时针方向旋转$60^{\circ}$后得到线段$BD$.
（1）求$\angle ABD$的度数（用含$\alpha$的式子表示）；
（2）如图②，若$\angle BCE = 150^{\circ}$，$\angle ABE = 60^{\circ}$，判断$\triangle ABE$的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，若$\angle DEC = 45^{\circ}$，求$\alpha$的度数.

答案：
解析：（1）因为$0^{\circ}\lt\angle BAC\lt60^{\circ}$，所以$\angle ABC\gt60^{\circ}$. 从而线段$BD$在$\triangle ABC$的内部. 所以$\angle ABD$可以看成是$\angle ABC$与$\angle DBC$的差. （2）连接$AD$，$CD$，根据题中的条件和图形旋转的性质，可以分别证得$\triangle ABD\cong\triangle ACD$，$\triangle ABD\cong\triangle EBC$，于是可知$\triangle ABE$为等边三角形. （3）连接$DE$，根据条件可以证得$\triangle DCE$为等腰直角三角形，可求$\angle EBC$的度数，结合（2）可得关于$\alpha$的方程，解之可得$\alpha$的度数.
解：（1）由题意，得$\angle DBC = 60^{\circ}$. $\because AB = AC$，$\therefore\angle ABC = \frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle BAC) = \frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha) = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$. $\because0^{\circ}\lt\alpha\lt60^{\circ}$，$\therefore\angle ABC\gt60^{\circ}$，即线段$BD$在$\triangle ABC$的内部. $\therefore\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha - 60^{\circ} = 30^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$.
（2）$\triangle ABE$为等边三角形.
如图③，连接$AD$，$CD$.
$\because$线段$BC$绕点$B$按逆时针方向旋转$60^{\circ}$后得到线段$BD$，$\therefore BC = BD$，$\angle DBC = 60^{\circ}$. $\therefore\triangle BCD$为等边三角形. $\therefore BD = CD = BC$. 又$\because\angle ABE = 60^{\circ}$，$\therefore\angle ABD = 60^{\circ}-\angle DBE = \angle EBC = 30^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$.
在$\triangle ABD$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}AB = AC\\AD = AD\\BD = CD\end{cases}$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle ACD$. $\therefore\angle BAD = \angle CAD = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2}\alpha$. $\because\angle BCE = 150^{\circ}$，$\therefore\angle BEC = 180^{\circ}-(30^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha)-150^{\circ} = \frac{1}{2}\alpha$. $\therefore\angle BAD=\angle BEC$.
在$\triangle ABD$和$\triangle EBC$中，$\begin{cases}\angle BAD=\angle BEC\\\angle ABD=\angle EBC\\BD = BC\end{cases}$，$\therefore\triangle ABD\cong\triangle EBC$. $\therefore AB = EB$. 又$\because\angle ABE = 60^{\circ}$，$\therefore\triangle ABE$为等边三角形.
（3）如图③，连接$DE$. $\because\triangle BCD$为等边三角形，$\therefore\angle BCD = 60^{\circ}$. $\because\angle BCE = 150^{\circ}$，$\therefore\angle DCE = 150^{\circ}-60^{\circ} = 90^{\circ}$. 又$\because\angle DEC = 45^{\circ}$，$\therefore$易得$\triangle DCE$为等腰直角三角形. $\therefore DC = CE = BC$. $\therefore\angle EBC=\angle CEB$. $\because\angle BCE = 150^{\circ}$，$\therefore\angle EBC = \frac{180^{\circ}-150^{\circ}}{2} = 15^{\circ}$. 又$\because\angle EBC = 30^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha$，$\therefore30^{\circ}-\frac{1}{2}\alpha = 15^{\circ}$. $\therefore\alpha = 30^{\circ}$.